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Autor Tema: Existe algún triángulo  (Leído 196 veces)
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Michel
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« : 15/05/2012, 06:34:23 am »

¿Existe algún triángulo tal que las medidas de sus lados son tres números naturales consecutivos y el ángulo mayor es doble que el menor?
Si existe, hallar sus medidas.
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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
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« Respuesta #1 : 22/05/2012, 05:37:49 am »

Sea el triángulo ABC en el que B=2C y los lados n-1, n, n+1. Como en todo triángulo a mayor ángulo se opone mayor lado, el lado mayor es AC=n+1 y el menor es AB=n-1.

Trazando la bisectriz de B, se forma el triángulo isósceles BDC, en el que el ángulo exterior (suma de los interiores no adyacentes) vale 2C.

Los triángulos ABC y ADB tienen sus ángulos respectivamente iguales, por lo que son semejantes:
[texx]\displaystyle\frac{AC}{AB}=\displaystyle\frac{AB}{AD}\Rightarrow{\displaystyle\frac{n+1}{n-1}=\displaystyle\frac{n-1}{AD}}\Rightarrow{AD=\displaystyle\frac{(n-1)^2}{n+1}}[/texx]

Aplicando el teorema de la bisectriz al triángulo ABC:
[texx]\displaystyle\frac{AD}{AB}=\displaystyle\frac{DC}{BC}=\displaystyle\frac{AD+DC}{AB+BC}\Rightarrow{\displaystyle\frac{AD}{n-1}=\displaystyle\frac{n+1}{2n-1}}\Rightarrow{AD=\displaystyle\frac{(n-1)(n+1}{2n-1}}[/texx]

Igualando y simplificando resulta: [texx]n(n-1)(n-5)=0[/texx].

La única solución válida es 5. Por tanto los lados del triángulo miden 4, 5 y 6.

* Existe_algu769n_tria769ngulo.ggb (3.1 KB - descargado 29 veces.)
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