Abierto en lineales continuas

[diego.alvarez]

Corregido

Hola, me gustaría me orientaran con este ejercicio porque no tengo idea de cómo abordarlo:

Sea un espacio de Banach  y denote , donde es el conjunto de los operadores continuos en .

Sea

Demostrar que es un abierto en el espacio

Saludos.

[yoyontzin]

No escribiste cuál es el problema...

[diego.alvarez]

Toda la razon, muchas gracias. El problema es:

Demostrar que es un abierto en el espacio

Saludos.

[numbsoul]

Dado ,debemos ver que existe tal que .

Ahora bien, eso es equivalente a que si y solo si .

Es decir,debemos ver que existe tal que para todo .

Lo que sucede es que , donde denota la bola de centro el operador nulo y radio . Demuestra este hecho usando la convergencia absoluta de la serie geométrica.

Para terminar de resolver el ejercicio, toma y entonces si , y por lo anterior, es inversible.

[diego.alvarez]

Muchas gracias, pero no entiendo por que dices que 

[numbsoul]

porque la composición de operadores biyectivos con inversa continua también cumple esa propiedad.

Recíprocamente,dada ,podemos escribir ,lo que muestra que .

Aunque tengo una duda,¿ denota el conjunto de los operadores lineales continuos en ?

[diego.alvarez]

Pero mi duda es que no es necesariamente biyectivo.

si denota al conjunto de lo operadores continuos en .

Saludos, muchas gracias por tus respuestas.

[numbsoul]

Cualquier función biyectiva cumple que su inversa es biyectiva.
La parte interesante es ver que ,tomando y observando que

[diego.alvarez]

No entiendo cómo llegas a que y para qué me sirve probar esto.
Saludos.

[numbsoul]

Queremos ver que existe tal que (Pues vimos que la existencia de una bola de centro contenida en es equivalente a esto).

Si probamos que ,bastará tomar ,pues en este caso,si ,tenemos que y así .(Porque significa que )