Ayuda con un truco matemático para engañar

[SocráticoMayeutico]

Hola:

Soy nuevo y espero poder cumplir bien las normas, que no sé si he entendido bien porque son muchas. Mis disculpas si me salto algo.

El caso es que un dia pude ver este truco matemático que nos engaña haciendo ver que 2=1:

partiendo de la ecuación a=b

a=b
a^2=ab
a^2-b^2=ab-b^2
(a-b)(a+b)=b(a-b)

Simplificamos quitando (a-b), ya que se encuentra multiplicando en ambos lados de la ecuación. De tal modo que:

a+b=b

Como a=b:

b+b=b
2b=b

Como b se encuentra multiplicando en ambos lados de la ecuación, simplificamos del mismo modo que hicimos antes con (a-b). De tal modo que:

2=1

Lo he pensado y creí hallar la solución, donde está el engaño. Pero cuando lo repasé me entraron dudas:

Llegué a la conclusión de que el fallo estaba en:

2b=b

y entonces se simplifica quitando b del mismo modo que antes simplificamos quitando (a-b).

Al pasar al otro lado de la ecuación la b tendríamos:

2b-b=0

b=0

y todo concordaría, pues si b=0 es lógico que vieramos como 2b=b, pues cualquier número multiplicado por 0 es 0.

Pero hay algo que me hace dudar, pues también podríamos pasar la b dividiendo, del siguiente modo:

2b=b

2=b/b

2=1

Por lo que nos quedaríamos como antes. algo tiene que estar mal, pero no acierto a ver mi error(o mis errores)

Además no acierto a ver una respuesta que me diga por qué podemos simplificar quitando (a-b) y no b.

Espero que me ayuden. Saludos

[Tanius]

El problema está en que no puedes cancelar ese factor , pues este número es cero. Como te dicen desde pequeño: "no puedes dividir por cero".

Un saludo 

[aladan]

Hola SocráticoMayeutico

Bienvenido al foro.

El fallo de esa argumentación tramposa está al dividir por cero, es decir al pasar de

                
a
                

ya que dada la hipótesis inicial

                  

operación imposible en los números reales.

Lo mismo que multiplicar por cero, fijate si eso fuera posible podemos llegar a que cualquier para de valores distintos sean iguales, 3 y 4 por ejemplo

              

fantástico, ¿no?

Saludos

            

[SocráticoMayeutico]

Hola.

Muchísimas gracias. Si me podeis enseñar en este foro temas ya escritos con trucos similares, y puedo pensarlos sin que esté puesta la solución lo agradeceré mucho

Muchos saludos. Gracias, de verdad

[Cristian C]

Hola Socrático Mayéutico.
Siempre me gusta poner este:


  [reemplazo los 0 por (1-1)]
  [quito parétesis precedidos por signos +]
  [asociatividad]
   [pues (-1+1)=0]


Lo que "prueba" que 0=1   
 


Saludos.

[SocráticoMayeutico]

Gracias!!!

Este se ve que es falso porque trata de engañar con los puntos supensivos que nos muestran un indeterminado numero de ceros que se están sumando.

Vamos a suponer que hay 5 ceros

0=0+0+0+0+0
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)
0=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)-1

Los 4 paréntesis se van y queda

0=1-1
0=0

Ah, da igual el numero de 0 que pongas. Siempre es lo mismo. Ahora teniamos 5 ceros(numero impar), pero con un numero par:

0=0+0+0+0+0+0
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)
0=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)-1

Y estamos igual que en el caso anterior, luego 0=0

[Ptolomeo]

Hola colegas! el momento excelente para presentar este tipo de trucos es cuando les explicamos a los alumnos que no puede dividirse por cero. Al principio lo toman pero sin convencimiento. Al mostrarles qué puede ocurrir si sí lo hacemos, les queda grabado a fuego y ya nunca dividen por cero.
Buena semana! Daniela

[feriva]

Hola. Aquí hay otro de ese estilo:

Demostración de que



Restamos a ambos lados de la ecuación



En un lado factorizamos usando la "suma por su diferencia" y en el otro lado se saca factor común dos.



Cancelamos los términos iguales a cada lado de la ecuación, dividiendo entre .





Saludos.

[Cristian C]

Gracias!!!

Este se ve que es falso porque trata de engañar con los puntos supensivos que nos muestran un indeterminado numero de ceros que se están sumando.

Vamos a suponer que hay 5 ceros

0=0+0+0+0+0
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)
0=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)-1

Los 4 paréntesis se van y queda

0=1-1
0=0

Ah, da igual el numero de 0 que pongas. Siempre es lo mismo. Ahora teniamos 5 ceros(numero impar), pero con un numero par:

0=0+0+0+0+0+0
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)
0=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)-1

Y estamos igual que en el caso anterior, luego 0=0

¿Y qué ocurre si los puntos suspensivos significan "y así siguiendo, sin fin"?

Saludos.

[SocráticoMayeutico]

Gracias!!!

Este se ve que es falso porque trata de engañar con los puntos supensivos que nos muestran un indeterminado numero de ceros que se están sumando.

Vamos a suponer que hay 5 ceros

0=0+0+0+0+0
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)
0=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)-1

Los 4 paréntesis se van y queda

0=1-1
0=0

Ah, da igual el numero de 0 que pongas. Siempre es lo mismo. Ahora teniamos 5 ceros(numero impar), pero con un numero par:

0=0+0+0+0+0+0
0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)
0=1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1
0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)-1

Y estamos igual que en el caso anterior, luego 0=0

¿Y qué ocurre si los puntos suspensivos significan "y así siguiendo, sin fin"?

Saludos.

seguirá dando 0, pues por infinito que sea el número ha de ser par o impar, y pasará cualquiera de las dos cosas que he expuesto. Da igual que pongas 5 ceros o 9999999999999999999999999999999, que pongas 6 ceros o 90000000000000000000000000000000000000000...siempre será igual a 0

[mente oscura]

Hola.
Otro:





 O sea: 1=0
Un cordial saludo

[mente oscura]

Hola.
Y otro más.









Un cordial saludo

[Cristian C]

Hola SocráticoMayéutico. Dices:

seguirá dando 0, pues por infinito que sea el número ha de ser par o impar, y pasará cualquiera de las dos cosas que he expuesto. Da igual que pongas 5 ceros o 9999999999999999999999999999999, que pongas 6 ceros o 90000000000000000000000000000000000000000...siempre será igual a 0

No es así. El infinito no es ni par ni impar. Más aun, siquiera es un número natural.
Y no da igual que pongas una cantidad muy grande de ceros o que pongas infinitos. En el primer caso, vale tu explicación. En el segundo caso no.

Estas cosas han vuelto locos a los matemáticos durante mucho tiempo hasta que se formalizó el concepto de sumatorias infinitas.

Saludos.

[SocráticoMayeutico]

Gracias a todos por los desafíos que me ofrecen.

mente oscura: sospecho que el caso que tú planteas se debe a que no se puede hacer un limite y una igualdad a la vez es decir, poner:



sería incorrecto. ¿estoy en lo cierto?

El segundo ya es más dificil para mí, lo he estado pensando y no llego a ninguna conclusión.

Cristian C: pensaba que un numero infinito era un número muy grande e indefinido...eso demuestra mi ignorancia. Tal vez tenga algo que ver con lo que dijo Descartes:

Distingo aquí lo infinito y lo indefinido y no llamo propiamente infinito más a aquello que en lo cual por ningún lado encuentro límites(...) pero aquellas cosas que sólo bajo algún respecto no hallo fin, como (...) la multitud de los números(...) las llamo indefinidas y no infinitas, porque no carecen de fin y de límites bajo todo concepto.

Por tanto...imagino que la multitud de los números no es infinita si no indefinida, y un numero muy grande que desconocemos, es un indefinido, no un infinito...siendo el infinito lo que tú dices, un número "que no es par ni impar, ni siquiera un número natural". Pero entonces no consigo representar en mi mente el concepto de infinito ni entender como se puede operar con él...¿me lo puede explicar alguien?

Muchas gracias por todo, y cordiales saludos

[el_manco]

Hola

mente oscura: sospecho que el caso que tú planteas se debe a que no se puede hacer un limite y una igualdad a la vez es decir, poner:



sería incorrecto. ¿estoy en lo cierto?

No. Eso si se puede hacer. De manera más precisa por ejemplo si tenemos sucesiones relacionadas por:



y todas ellas son convergentes, entonces:



El problema es que mente oscura para cada valor de va cambiando el número de sucesiones que suma, entonces no puede aplicar que el límite de la suma es la suma de los límites.

Otra opción para formalizar lo que él escribe sería:



si aplicamos límites quedaría:



 Ahí podríamos aplicar que el límite del producto es el producto de los límites si amabs sucesiones que son multiplicadas fuesen convergentes; pero es divergente, luego no es cierto (o no tiene porque serlo) que el límite del producto sea el producto de los límites.

El segundo ya es más dificil para mí, lo he estado pensando y no llego a ninguna conclusión.

 Simplemente la igualdad:



 sólo es cierta para entero. Sólo podríamos trabajar con esas funciones en puntos aislados (los naturales); pero para poder definir la derivada necesitamos que la función esté definida en un entorno de cada punto.

Saludos.

[Cristian C]

Pero entonces no consigo representar en mi mente el concepto de infinito ni entender como se puede operar con él...¿me lo puede explicar alguien?

Es un tema muy amplio para tratar en este hilo. Puedes buscar hilos que ya traten el tema (hay muchos) o abrir uno nuevo, si te interesa.

Saludos.

[feriva]

Por tanto...imagino que la multitud de los números no es infinita si no indefinida, y un numero muy grande que desconocemos, es un indefinido, no un infinito...siendo el infinito lo que tú dices, un número "que no es par ni impar, ni siquiera un número natural".

Hola. El infinito no es exactamente un número, sería como infinitos números distintos, en todo caso, números en los que no existe el concepto de valor, o cantidad, ni el concepto de divisibilidad. Por tanto, en realidad, en la práctica, no operamos con esa especie de cosa, se opera con números indefinidamente grandes o pequeños; y decimos que tienden a infinito cuando son muy grandes; y que tienden a cero cuando son muy pequeños.

Saludos.

[SocráticoMayeutico]

El segundo ya es más dificil para mí, lo he estado pensando y no llego a ninguna conclusión.

 Simplemente la igualdad:



 sólo es cierta para entero. Sólo podríamos trabajar con esas funciones en puntos aislados (los naturales); pero para poder definir la derivada necesitamos que la función esté definida en un entorno de cada punto.

Saludos.

¿Por qué solo es cierta para X entero?¿Por qué en numeros decimales deja de ser así?

Gracias por todos vuestros mensajes y lamento la tardanza a responder.

[feriva]

El segundo ya es más dificil para mí, lo he estado pensando y no llego a ninguna conclusión.

Hola. Aparte de las consideraciones relacionadas con la derivada, números irracionales y tal, fíjate en que si equis es igual, qué sé yo, a cinco, por ejemplo, tendrás:



  o sea, "dos veces equis".

o bien



Cosas distintas ambas de "uno equis veces"; que sería lo mismo que "equis veces uno".

 Lo que sí sería verdad, lo que sería análogo, es esto



Saludos.

[el_manco]

Hola

¿Por qué solo es cierta para X entero?¿Por qué en numeros decimales deja de ser así?

Gracias por todos vuestros mensajes y lamento la tardanza a responder.

Simplemente, ¿qué sentido tiene o como se interpretería por ejemplo:



¿Qué es sumar términos?.

Saludos.