Compacidad, punto de acumulación y sucesión.

[Fessenden]

Sea un espacio métrico compacto. Sea una función tal que para todo es

1. Sea Probar que es un punto de acumulación de la sucesión
( es la composición de veces.)
2. Concluir que es denso en

Este ejercicio me salió en la prueba y no pude resolverlo, cómo lo harían ustedes?

[yoyontzin]

Daso que el espacio es compacto,  esta suseciòn tiene una subsucesiòn convergene. Sin perdida de generalidad podemos suponer que es convergente.

Dado que la sucesiòn es convergente,  es de Cauchy; por lo que para todo esiste un natual tal que si se cumple que

Dado , lo que buscamos demostrar es que existe un nùmero , tal que si entonces

Afirmo que N=1 funcioa. En efecto.  si n>1 entonces por hipòtesis y por la cota de Cauchy que enconramos:

[yoyontzin]

En realidad, eso de que sin perdida de generalidad no es tan preciso en este caso, pues el caso general no se reduce estrictamente a este... Poer en todo caso el argumento se adapta fàcilmente. Lo puedes hacer?