Producto interior y transformaciones

[Danifire2]

Buenas noches, mi problema es el siguiente:

Sean V, W espacios vectoriales sobre ,    un producto interior en W, S una traformación lineal de V en W. Demostrar que define un producto interior en V si y sólo si S es inyectiva.

¿Me pueden dar una ayuda para iniciar la demostración?

Se me ocurre probar cada una de las propiedades del producto interior para una de las implicaciones pero en verdad no sé como comenzar, intentaría ver que si eso pasa entonces el núcleo de S es el cero ya que el producto interno es definido positivo pero no sé si sea correcto (¿Cómo lo formalizo un poco?) espero que me puedan ayudar  de antemano les agradezco ...

[Gustavo]

Sean V, W espacios vectoriales sobre ,    un producto interior en W, S una traformación lineal de V en W. Demostrar que define un producto interior en V si y sólo si S es inyectiva.

Supongo que quisiste decir .

Sí, debes ver las dos implicaciones:

(1) Si define un producto interno, es inyectiva.

Una forma es ver que . Para éso analiza lo que pasa con y usa el hecho que .

(2) Si es inyectiva, debes verificar que cumple las propiedades para ser producto interno.

Para la primera propiedad debes ver que para cualesquiera , se tiene :

.

por definición, ya que S es lineal, ya que es un producto interno, ya que S es inyectiva.

Así con el resto de propiedades.

[Danifire2]

Sean V, W espacios vectoriales sobre ,    un producto interior en W, S una traformación lineal de V en W. Demostrar que define un producto interior en V si y sólo si S es inyectiva.

Supongo que quisiste decir .

Sí, debes ver las dos implicaciones:

(1) Si define un producto interno, es inyectiva.

Una forma es ver que . Para éso analiza lo que pasa con y usa el hecho que .

(2) Si es inyectiva, debes verificar que cumple las propiedades para ser producto interno.

Para la primera propiedad debes ver que para cualesquiera , se tiene :

.

por definición, ya que S es lineal, ya que es un producto interno, ya que S es inyectiva.

Así con el resto de propiedades.

¿Cómo puedo ver la propiedad de que es definida positiva? y que ? gracias por tu ayuda con lo primero ya lo pude probar .... esto ultimo se me complica ya que son espacios sobre los complejos

[Gustavo]

¿Cómo puedo ver la propiedad de que es definida positiva? y que ?

Si tenemos un vector no nulo , ya que es definido positivo y no es el vector nulo porque el núcleo de S es

Para la otra es cuestión de escribir lo que tienes y a lo que debes llegar: Inténtalo!. Debemos ver que para todo

Partiendo del lado derecho,

- ¿cómo está definido ?
- ¿qué propiedad de como producto interno podemos usar?
- Dado un número complejo , ¿cuánto es ?
- ¿qué propiedad de la función S tenemos?
- ¿a dónde queremos llegar?