Grupos y espacios uniformes

[Tanius]

¡Hola! Estoy atorado en el siguiente problema; como no sé si todos manejamos el mismo lenguaje, abajo escribo las definiciones y resultados previos.

Sea un grupo topológico. Sea una base local de vecindades para (el elemento neutro). Para cada , definimos:





Ambas colecciones forman una base para un espacio uniforme, a saber y . Quiero demostrar que si es compacto entonces

Algo que ya demostré es que las topologías uniformes generadas por y coinciden con la topología original de . Así que si suponemos compacto, los espacios mencionados serán también compactos.

Definiciones y resultados previos:

Spoiler: Grupo topológico (click para mostrar u ocultar)

Un grupo topológico es una terna tal que es un espacio topológico, es un grupo, y las aplicaciones y son continuas.

Algunos resultados son lo siguientes:

1) Si es vecindad de entonces existen y vecindades de e respectivamente tales que

2) Si es vecindad de entonces existe vecindad de tal que

3) Si entonces las funciones y son homeomorfismos.

Spoiler: Espacio y topología uniforme (click para mostrar u ocultar)

Definiciones: Sea un conjunto no vacío. Para , definimos .
También definimos y

Un espacio uniforme es un par , con que tiene las siguientes propiedades

(1) Para cada , se tiene que
(2)
(3) Para cada existe tal que
(4) Para cada existe tal que
(5) Si y entonces

Se tiene el siguiente resultado: si tiene las propiedades (1), (3) y (4) y además cumple que:

(2') Si entonces existe tal que

entonces decimos que es base para un espacio uniforme, y dicho espacio uniforme es

Topología uniforme: si es un espacio uniforme, dado y definimos .
Esto genera un espacio topológico de tal manera que, para cada , la colección es una base local de vecindades de .

Gracias de antemano.

[Carlos Ivorra]

Eso se debe a que un espacio compacto admite una única uniformidad que induce la topología del espacio. La demostración la tienes, por ejemplo, en el Engelking, teorema 8.3.13.

[Tanius]

Aahh, vaya. ¡Muchas gracias por el dato, Carlos!

Un saludo 

[Tanius]

¡Hola de nuevo!

He tratado de revisar la prueba (en el Engelking) de que todo espacio compacto admite una única uniformidad que induce a la topología, pero me parece bastante técnica (por no decir complicada). En concreto, para probar el teorema 8.3.13 hay que probar otro teorema 8.1.10 que involucra pseudométricas y cuya demostración es bastante fatigosa.

También he revisado la prueba del Willard, pero ésta involucra teoría de cubiertas uniformes y refinamientos que resulta algo extensa.

Pero de hecho el problema que escribí en el tema viene en el Willard (35F), y está antes del teorema de que todo espacio compacto admite una única uniformidad, por tanto creo que este problema debe ser sencillo de resolver usando la naturaleza de los elementos en y .

¿Alguien ve una forma "fácil" de demostrar siendo compacto?

Gracias de antemano 

[Tanius]

Ya di con una solución relativamente sencilla.

Si es compacto con un grupo topológico, entonces para toda vecindad de existe otra vecindad de tal que para todo .

Utilizando el hecho anterior se puede ver que las uniformidades coinciden tomando .

Un saludo