Hola
Para estudiar si es un máximo o un mínimo estudia el Hessiano, es decir, la matriz formada por las segundas derivadas parciales evaluadas en cada punto crítico.
Si es una matriz definida positiva, es un mínimo.
Si es definida negativa un máximo.
Si es indefinida, el criterio del Hessiano no decide.
Aquí tienes más detallado el criterio:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,56964.0.html En cuanto a saber si tiene extremos sin hacer cuentas, lo que sabemos es que el integrando es positivo por ser un cuadrado y por tanto la función está acotada inferiormente (no toma valores negativos). Pero sin hacer ninguna cuenta, eso no garantiza la existencia tan siquiera de mínimo.
Saludos.
