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YeisonSoto

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Integral doble y volumen

« : 16/05/2012, 08:44:35 pm »

Por favor alguien me ayuda con esta integral doble?

$\displaystyle\int_{0}^{\pi } \displaystyle\int_{0}^{\pi /2} sen^2(x) cos^2(y) dy dx$

He utilizado la reduccion de potencias pero me confundo mas...

Agradezco la ayuda que me puedan dar


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Gustavo

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Re: Integral doble y volumen

« Respuesta #1 : 16/05/2012, 09:03:37 pm »

Recuerda estas dos identidades:

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ (1)
$\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)$ (2)

Para la primera integral saca $\sin^2(x)$ porque es constante si integramos con respecto a y.

Sumando (1) y (2), tienes que $\cos^2(y)=\dfrac{1+\cos(2y)}{2}$ .

Intenta continuar.


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YeisonSoto

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Re: Integral doble y volumen

« Respuesta #2 : 17/05/2012, 12:02:42 am »

Cita de: Gustavo en 16/05/2012, 09:03:37 pm

Intenta continuar.

Muchas Gracias por responder, he intentado resolverla pero no he podido con esta integral

$\displaystyle\int_{0}^{\pi }\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}sen^2(x)cos^2(y) dydx$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi } sen^2(x)\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\displaystyle\frac{1+cos2y}{2} dy dx$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi } sen^2(x)\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\displaystyle\frac{1}{2}y+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi } cos(u)\displaystyle\frac{du}{2}$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi }sen^2x(\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{\pi}{2})+ \displaystyle\frac{1}{4}sen(2(\displaystyle\frac{\pi }{2})))dx$ -----Evaluando $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ en y


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Gustavo

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Re: Integral doble y volumen

« Respuesta #3 : 17/05/2012, 12:55:11 am »

De nada. En este paso

Cita de: YeisonSoto en 17/05/2012, 12:02:42 am

$\displaystyle\int_{0}^{\pi } sen^2(x)\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\displaystyle\frac{1+cos2y}{2} dy dx$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi } sen^2(x)\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\displaystyle\frac{1}{2}y+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi } cos(u)\displaystyle\frac{du}{2}$

ya has integrado $\dfrac12$ y hecho la sustitución

, luego lo correcto es que escribas:

$\displaystyle\int_{0}^\pi \sin^2(x)\left( \left[ \dfrac{1}{2}y \right]_0^{\pi/2}+\dfrac14 \int_{0}^\pi \cos(u)du \right)dx$

y de ahí tenemos lo que escribiste

$\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{\pi}{4}\sin^2(x)dx$ ya que $\sin\left(2\cdot\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin(\pi)=0$

Para la última integral, (de las identidades de arriba) multiplica (2) por -1 y suma ésa ecuación con (1) para que obtengas

$\sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ .

Cualquier duda, pregunta.


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YeisonSoto

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Re: Integral doble y volumen

« Respuesta #4 : 17/05/2012, 08:50:40 pm »

Cita de: Gustavo en 17/05/2012, 12:55:11 am

Gracias a tu ayuda la pude termiar:

$\cos^2(y)=\dfrac{1+\cos(2y)}{2}$ .
$\sin^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ .

$\displaystyle\int_{0}^{\pi }\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}sen^2(x)cos^2(y) dydx$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi } sen^2(x)\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\displaystyle\frac{1+cos2y}{2} dy dx$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi } sen^2(x)\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\displaystyle\frac{1}{2}y+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi/2 } cos(u)\displaystyle\frac{du}{2}$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi }sen^2x(\displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{\pi}{2})+ \displaystyle\frac{1}{4}sen(2(\displaystyle\frac{\pi }{2})))dx$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi }sen^2x(\displaystyle\frac{\pi}{4})+ 0 dx$

La otra integral

$\displaystyle\frac{\pi}{4}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{1-cos(2x)}{2} dx$

$\displaystyle\frac{\pi}{4}[\displaystyle\frac{1}{2}x]_{0}^{\pi} - \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}cos(u)\displaystyle\frac{du}{2}$

$(\displaystyle\frac{\pi}{4})(\displaystyle\frac{\pi}{2})-0$

$\displaystyle\frac{\pi}{8}$

Lo cual concuerda con el resultado del libro Pero me quedo la duda de como se hacen las operaciones a partir de las identidades para sacar los resultados $\cos^2(y)=\dfrac{1+\cos(2y)}{2}$ y $\cos^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$

Te agradezco que me explique por favor o me digas donde encuentro información respecto al tema ya que tengo otros ejercicios similares..
Gracias


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Gustavo

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Re: Integral doble y volumen

« Respuesta #5 : 18/05/2012, 12:22:35 am »

Cita de: YeisonSoto en 17/05/2012, 08:50:40 pm

... me quedo la duda de como se hacen las operaciones a partir de las identidades para sacar los resultados $\cos^2(y)=\dfrac{1+\cos(2y)}{2}$ y $\cos^2(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$

Si tenemos dos ecuaciones a=b y c=d, entonces se tiene que a+c=b+d. En nuestro caso teníamos que

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ (1)
$\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)$ (2)

Sumando:

$\sin^2(x)+\cos^2(x)+\cos^2(x)-\sin^2(x)=1+\cos(2x)$

$2\cos^2(x)=1+\cos(2x)$

$\cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$

¿responde éso tu pregunta?


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YeisonSoto

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Re: Integral doble y volumen

« Respuesta #6 : 18/05/2012, 04:48:13 pm »

Cita de: Gustavo en 18/05/2012, 12:22:35 am

]

Si tenemos dos ecuaciones a=b y c=d, entonces se tiene que a+c=b+d. En nuestro caso teníamos que

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ (1)
$\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)$ (2)

Sumando:

$\sin^2(x)+\cos^2(x)+\cos^2(x)-\sin^2(x)=1+\cos(2x)$

$2\cos^2(x)=1+\cos(2x)$

$\cos^2(x)=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$

¿responde éso tu pregunta?

Gracias Gustavo, Bastante claro.


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