Integral de una función

[santgrial]

Tengo un problema en el que no sé ni qué me piden, es el penúltimo ejercicio de un cuaderno de ejercicios que tengo que hacer así que ya termino casi ...¿podrían ayudarme?

para x>0 definimos:



a) determinar f explicitamente,distinguiendo los casos 0<x<1;x=1 y x>1

vale yo intento hacer la integral, para el caso de x=1 tengo:

lo cual es lo mismo que




la integral del seno es el -coseno por lo que tengo que la integral cuando x=1 es = -1 por que :




 ¿pero para los otros dos casos cómo podría hacerlo? había pensado en un cambio de variable pero no sé cuál.

[yoyontzin]

Me imagino que la integral es respecto de no?  Pues entonces ahora considera a como una constante y entcuentra la integral. Normalmente esa integral la transformas a una integral de una función racional, haciendo la substitución y luego integrando con fracciones parciales (por ejemplo).

[santgrial]

cuando dices
¿a que te refieres con u? no entiendo lo que dices

[yoyontzin]

Hacer un a substitución, un cambio de variable considerando a x constante y entonces u es función de t.

[skullduggery]

pero para tener en cuenta ese cambio de variable no se puede substituir u por que no tengo ninguna u en la integral original

[HernanV]

pero para tener en cuenta ese cambio de variable no se puede substituir u por que no tengo ninguna u en la integral original

A ver... Me parece que deberías repasar bastante acerca de cálculo integral. Lo que te está sugiriendo yoyontzin es perfectamente válido, pero vos no entendes del todo cómo se aplica.

Así y todo, si leyeras el primer comentario que él te hizo, notarías que (1) te preguntó algo que nunca respondiste y (2) , cosa que podrías haber calculado si hubieses leído la totalidad del primer comentario de yoyontzin.

Otra cosa, .

Saludos .

[santgrial]

hombre en realidad la integral del seno es el menos coseno no el coseno...
entonces la integral es menos uno solo si x vale uno , si no cuanto vale la integral? como la hago no puedo sacar la x ya que no esta en los dos términos del denominador y no puedo sacarlo como factor comun...

[yoyontzin]

pero para tener en cuenta ese cambio de variable no se puede substituir u por que no tengo ninguna u en la integral original

A ver... Me parece que deberías repasar bastante acerca de cálculo integral. Lo que te está sugiriendo yoyontzin es perfectamente válido, pero vos no entendes del todo cómo se aplica.

Así y todo, si leyeras el primer comentario que él te hizo, notarías que (1) te preguntó algo que nunca respondiste y (2) , cosa que podrías haber calculado si hubieses leído la totalidad del primer comentario de yoyontzin.

Otra cosa, .

Saludos .

Sin embargo, hay un error en tu calculo pues no es verdad que puedas factorizar el de la integral (pues no es factor del coseno.

Si tiene lo sigueinte:

.  Es ahora el momeno de realizar el cambio de variable que proponto, es decir

esto implica que pero como esto implica que .   y entonces    o bién:  . Por lo que haciendo la substitución adequada:

   que es la integral de una función racional. Ahora te toca a ti seguir esta integral. 



Está mal la substitución. Ver mensajes posteriores.

[Arturo Gómez]

El error de la inegral del seno es que al evaluar - coseno en pi/2, da 0, y al evaluar en 0, pasa lo siguiente:
 -(-cos(0)) = -(-1) =1, lo que es coherente con el hecho de que se trata de la integral de una función positiva en el intervalo considerado. En el cálculo del primer post se omitió el signo de - que corresponde a la evaluación.

En cuanto al denominador, una estrategia podría ser descomponerlo así

,

según esta descomposición es claro el enunciado que pide discutir para x > 1 y para 0<x<1.

De esta forma el denominador queda la suma de 1 mas el cuadrado del seno multiplicado por un número que en un caso será positivo y en el otro negativo.

[yoyontzin]

Yo veo muchas x.

Toma en cuenta Arturo que los senos son funciones de t y no de x.

[Arturo Gómez]

sí, gracias, ahora lo modífiqué, está calculado como sen(t). La x es un parámetro en este problema.

[santgrial]

arturo eso de transformar el denominador de esta forma:

fue lo primero que hice, es cierto que haciendo eso queda evidente el por qué de los rangos de la x, pero teniendo eso no soluciono nada ya que no podría seguir la integral. el cambio de yoyontzin creo que es mas apropiado... por lo tanto intentare seguirlo, con tu cambio los extremos de integracion se mantienen verdad?:




entonces combierto esto a cuatro fracciones :




¿ahora como saco los valores de A,B,C y D? es que al haber parametros...

[yoyontzin]

Estás descomponiendo mal en fracciones parciales. Revisa primero esto.

[santgrial]

uff es cierto me cole, no puedo hacer ahí el producto de la diferencia pero en el denominador tengo eso no esta factorizado del todo ya que la variable u esta al cuadrado
¿como lo factorizo?

[yoyontzin]

LO que tienes que resolver es lo siguiente:

  Encuentra los valores de y (que van a depender de )  Y luego integras.

NO, los límites de integración sí cambian.   Como tenemos que si entonces .


Segun mis cuentas para    Pero haz la integral y dime qué te salió poque no la hice con mucho cuiado.

[yoyontzin]

MOMENTO.  Que nadie se mueva.

Hay un error desde el principio.... NO es verdad que


Lo que queda en realidad es:


 

[yoyontzin]

Antonces la substitución que conviene realizar es pues entonces   y la integral se transforma en

  Eliminado el du extra

Y entonces ahora hay que considerar dos casos para resolver esta integral:

1)  o 2) (el caso da como resultado (y no menos uno como pusiste en tu primer post).

Es importante considerar estos dos casos por separado, pues cada caso tiene un método distinto para resolver la integral por fracciones parciales

[santgrial]

puse solo un du, tu pusiste dos...con uno valdría,vale teniendo :



si x es mayor que uno tenemos en el denominador mas un numero positivo, si x es menos que uno tendremos en el denominador  menos un numero el cual no sera mayor que uno.

pero para hacer fracciones parciales hay que factorizar el denominador y no se como podría factorizarlo cuando tengo una suma o una resta....

[yoyontzin]

Si, mira  si entonces asi que tenemos que para algún número positivo  .

Entonces y ahora puedes usar fracciones parciales.


En el otro caso tenemos que si entonces y por lo tanto para algún positivo así que

  y la solución de esta integral es en términos de la arcotangente que seguro conoces.