Ecuaciones en el plano

[JaJaBin]

Tengo un par de problemas con rectas en el plano para encontrar su ecuación.
La primera va así:

a)
la recta es intersección de los planos y
en este caso, que tengo que hacer?

b)
Demuestre la perpedicularidad de los planos de ecuaciones: y

c)
Dados los planos: y , hallar el valor de m para que sean paralelos.

gracias por pasar

[feriva]

Tengo un par de problemas con rectas en el plano para encontrar su ecuación.
La primera va así:

a)
la recta es intersección de los planos y
en este caso, que tengo que hacer?

b)
Demuestre la perpedicularidad de los planos de ecuaciones: y

c)
Dados los planos: y , hallar el valor de m para que sean paralelos.

gracias por pasar

Hola.

a) Piénsalo un poco tú, la intersección de los planos forman la recta que te piden, es decir, las soluciones del sistema que puedes formar con las dos ecuaciones te van a dar los puntos de esa recta.

b) Obtén los vectores directores de cada plano y, después, utilizando el producto escalar, demuestra que son perpendiculares.

c) Obtén por medio las ecuaciones paramétricas los vectores; éstos tienen que tener sus coordenadas proporcionales, así que con eso podrás calcular que valor ha de tener "m". 

Saludos.

[JaJaBin]

entonces feriva:
en el A), yo plantearía el sistema de ecuaciones y lo resolvería hasta despejar la diag. principal. me quedaría un resultado en función de Z y luego digo que Z=T. entonces?

el B) entendí lo que tengo que hacer.

en el C), como armo las ecuaciones paramétricas a partir de esos datos?

gracias

[el_manco]

Hola

entonces feriva:
en el A), yo plantearía el sistema de ecuaciones y lo resolvería hasta despejar la diag. principal. me quedaría un resultado en función de Z y luego digo que Z=T. entonces?

Pues te quedarán las ecuaciones paramétricas de la recta en función del parámetro . Si todavía esto no te aclara el asunto, escribe exactamente hasta donde has llegado.

el B) entendí lo que tengo que hacer.

 Sólo una observación, feriva ha llamado vectores directores de los planos a lo que usualmente se llama vectores normales de los planos.

en el C), como armo las ecuaciones paramétricas a partir de esos datos?

No sé que quiso decir feriva con "por medio de las ecuaciones paramétricas". Para que dos planos sean paralelos sus vectores normales deben de ser paralelos, esto es, tener sus coordenadas proporcionales.

Dado un plano su vector normal es el vector .

Saludos.

[feriva]

No sé que quiso decir feriva con "por medio de las ecuaciones paramétricas". Para que dos planos sean paralelos sus vectores normales deben de ser paralelos, esto es, tener sus coordenadas proporcionales.

Dado un plano su vector normal es el vector .

Saludos.

Quiero decir que a través de las paramétricas podemos obtener la expresión general de los vectores de cada plano; no queda bien expresado con eso de "directores" tal y como había dicho. Haciendo aparecerá el coeficiente "m" en la expresión de los vectores del primer plano; después bastaría buscar el paralelismo mediante los valores apropiados para los parámetros de manera que quedara determinado "m" (pero esto lo he dicho sobre la marcha, sin ver si surgen aspectos secundarios a resolver en el problema).

Saludos. 

[el_manco]

Hola

Quiero decir que a través de las paramétricas podemos obtener la expresión general de los vectores de cada plano; no queda bien expresado con eso de "directores" tal y como había dicho. Haciendo aparecerá el coeficiente "m" en la expresión de los vectores del primer plano; después bastaría buscar el paralelismo mediante los valores apropiados para los parámetros de manera que quedara determinado "m" (pero esto lo he dicho sobre la marcha, sin ver si surgen aspectos secundarios a resolver en el problema).

De acuerdo: quieres hallar un par de vectores generadores de cada plano y estudiar cuando el subespacio generado por cada par es el mismo. Pero esto es mucho más complicado que el camino que propuse. En general para manejar condiciones de perpendicularidad y paralelismo de planos, lo más cómodo es manejar su vector normal.

Saludos.

[JaJaBin]

pude resolver la C).
y si yo quiero conocer el valor de m para que sea perpendicular?
como haría?

[el_manco]

Hola

pude resolver la C).
y si yo quiero conocer el valor de m para que sea perpendicular?
como haría?

¿Para qué los planos sean perpendiculares? Pues imponiendo que sus vectores normales sean perpendiculares, es decir, que su producto escalar sea nulo.

Saludos.

[feriva]

De acuerdo: quieres hallar un par de vectores generadores de cada plano y estudiar cuando el subespacio generado por cada par es el mismo. Pero esto es mucho más complicado que el camino que propuse. En general para manejar condiciones de perpendicularidad y paralelismo de planos, lo más cómodo es manejar su vector normal.

Saludos.

 Es verdad, siempre se me olvida que los coeficientes de las variables de la ecuación de un plano son las coordenadas de un vector perpendicular (tenía un profesor de álgebra al que le molestaba que usáramos esas "recetas", que decía él, y quizá por eso nunca me acuerdo; pero lo cierto es que es infinitamente más cómodo y más elegante).

 Si no lo hecho mal, el método que decía -muy práctico y pesado, desde luego- sería éste:












.....

















Saludos.

[el_manco]

Hola

  Si no lo hecho mal, el método que decía -muy práctico y pesado, desde luego- sería éste:












.....

 Es correcto aunque es un poco confuso como terminas. Para que ambos subespacios sean el mismo lo que tiene que cumplirse es que el sistema que resulta de igualar ambos vectores genéricos tenga solución de dimensión :





 Para ello la tercera ecuación debe de ser dependiente de las dos primeras; equivalentemente supueso que se verifican las dos primeras, la última debe de ser una identidad.

 Tu llegas (simplemente quitando denominadores) a:



 De ahí, usando las dos primeras:



 y para que sea una identidad .

Saludos.

[feriva]

 Es correcto aunque es un poco confuso como terminas. Para que ambos subespacios sean el mismo lo que tiene que cumplirse es que el sistema que resulta de igualar ambos vectores genéricos tenga solución de dimensión :

Sí, perdón, sobre todo se me había olvidado señalar

 


Saludos.

[JaJaBin]

Resolvi el B y el C.
en el A me quedé.
hice la reducción por renglones del sistema de ecuaciones con los dos planos, me quedó asi el sistema donde:




como sigo?

[feriva]

Resolvi el B y el C.
en el A me quedé.
hice la reducción por renglones del sistema de ecuaciones con los dos planos, me quedó asi el sistema donde:




como sigo?

Hola, JaJaBin. Si está bien resuelto -yo no lo he hecho- pues ya tienes las paramétricas de la recta; sólo que en todas las ecuaciones has de llamar a "z" con el nombre de "t", del parámetro, también en las de arriba; o sea, cambia "z" por "t".

 No dice el enunciado que tipo de ecuación de la recta te pide, ésas son las ecuaciones paramétricas; y ahí ya no sé, supongo que te pueden valer.

Saludos. 

[Sonata]

Resolvi el B y el C.
en el A me quedé.
hice la reducción por renglones del sistema de ecuaciones con los dos planos, me quedó asi el sistema donde:





como sigo?

No lo tienes bien resuelto. Fíjate que uno de los puntos por los que pasa la recta, según tus operaciones, es

Sin embargo, ese punto no pertenece a ninguno de los dos planos que forman la recta.

¿Puedes ponernos tus operaciones aquí? Así podremos decirte dónde te has equivocado.

Un saludo