Calcular rectas tangentes a una circunferencia por un punto exterior.

[samur88]

Saludos, a ver si me podéis ayudar en la siguiente duda que tengo.

Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia de ecuación que pasan por el punto P(3,0).

Conozco dos formas para resolver este problema, que vienen explicada en mi libro, pero se me ocurrió hacerlo de la siguiente forma que me gustaría saber si es factible o no, ya que los cálculos no me coinciden pero no sé si es un error en dichos cálculos o es que aplico mal el concepto.

Basándome en la construcción geométrica de rectas tangentes a una circunferencia que pasa por un punto exterior. Tengo que los puntos de tangencia con la circunferencia, sería la intersección de la circunferencia con otra circunferencia que pase por el punto y , es decir, que tenga como punto central .

El punto central de la nueva circunferencia será:
Construyo esta circunferencia:

Igualando ambas circunferencias y resolviendo, obtengo la recta , de donde deduzco que .

Sustituyendo en , obtengo la coordenada y del punto de tangencia.

Quedando el punto,, con este punto, y el punto P(3,0), puedo definir dos rectas que serán tangentes a la circunferencia.

¿Sería correcto mi planteamiento?

Saludos.

[aladan]

Hola  samur88

Tu fallo conceptual está acá (releo tu mensaje y a pesar de lo que he comentado veo que lo arreglas reinterpretando los resultados, por tanto tu planteamiento es correcto, ¿por qué dices no te coincide?)

Igualando ambas circunferencias y resolviendo, obtengo la recta , de donde deduzco que .

Lo que ahí obtienes no es una recta sino las coordenadas de los puntos de intersección de ambas circunferencias, que son precisamente los puntos de tangencia, es decir llegas a

               

         

las rectas tangentes serán

                 

pendientes de definir

Saludos



 

[samur88]

Muchas gracias Aladan, dos dudas que me surgen.

¿Dos circunferencias que se intersectan no definen una recta como eje radical de ambas circunferencias?

Y la segunda... una vez obtenidos esos dos puntos de tangencia, y el punto P(3,0), puede definir el vector director de la recta tangente buscada, que dicho vector sería: .

Puedo usar la recta punto-pendiente, como y calcular como , y eso debería darme según el libro, que no llega a darme...

¿erraría en algo?

Un saludo Aladan y muchísimas gracias por todo.

[aladan]

En este momento no dispongo de tiempo, más tarde te contesto.

[samur88]

No te preocupes Aladan, cuando puedas, un saludo y muchísimas gracias por todo.

[el_manco]

Hola

¿Dos circunferencias que se intersectan no definen una recta como eje radical de ambas circunferencias?

Si. Tu obtuviste la coordenada de los dos puntos de intersección de las circunferencias (la misma para ambas). Y por tanto la recta correspondiente a esa coordenada es el eje radical.

Y la segunda... una vez obtenidos esos dos puntos de tangencia, y el punto P(3,0), puede definir el vector director de la recta tangente buscada, que dicho vector sería: .

Correcto.

Puedo usar la recta punto-pendiente, como y calcular como , y eso debería darme según el libro, que no llega a darme...

¿Qué es lo que no te da?.



Saludos.

[samur88]

Gracias el_manco, mi error estaba en que no era capaz de ver como llegar de a , al final me he dado cuenta que solo hay que racionalizar.

Un saludo y gracias por todo.

[aladan]

Hola

Aunque el_manco ya ha respondido a tus preguntas, deseo hacer algunos comentarios.

1.- Dos circunferencias que  intersectan, en principio lo hacen en dos puntos que para el caso que estamos analizando son los puntos de tangencia, otra cuestión es que la recta que pasa por dichos puntos sea eje radical de ambas circunferencias. Por otra parte no veo relación alguna entre la duda que planteas y el problema que estamos resolviendo.

2.- Además de lo dicho por el_manco, recordarte que tienes dos vectores directores, uno el que ya ha sido comentado el otro

                 

3.- Para esta solamente añadir, seguro no te hace falta, que la pendiente conocidos los puntos de tangencia, la puedes obtener evaluando en la circunferencia, es decir

                       

Saludos

[samur88]

Gracias Aladan por todo, solo unas duditas que me surgen de los puntos 1 y 3.

Sobre el punto 1, como bien dices, da dos puntos, que serán los puntos de tangencia, pero en otros problemas podría darme la recta directamente, que sería el eje radical , aunque claro con los mismos puntos puedo calcular el eje. ¿no?

Lo preguntaba porque no sabía si era un recta o no, pero veo que no.

Sobre el punto 3, usas la derivada implícita, ¿no? Como derivada de la tangente a una curva, o en este caso una circunferencia que sería un ejemplo de curva.

Un saludo, y gracias por todo Aladan.

[aladan]

Mmmm, no sé si hablamos el mismo idioma, la intersección de dos curvas secantes unicamente seran puntos, ¿cuántos? dependerá de las curvas en juego, lo mismo que la entidad que pueda tener la linea, recta o curva, que pase por esos puntos,  nunca en ningún caso esa intersección puede darte una recta, no sé si está claro.

Vamos a otra cuestión, te preguntas si

                              (**)

es la ecuación de una recta o no, la respuesta es SI, esa ecuación representa una recta paralela al eje Y que corta al eje X en el punto que además para la situación de estas 2 circunferencias, sus centros están en el eje X, coincide con la ecuación del eje radical, pero dicho lo anterior no puedes olvidar que has llegado a (**) al resolver el sistema formado por las ecuaciones de las 2 circunferencias y lo que (**) representa es el valor de para el punto o puntos de intersección entre ambas curvas.

Sobre el punto 3, usas la derivada implícita, ¿no?

Si, lo que hago es derivar respecto a la ecuación

                             

teniendo en cuenta que , es más limpio y cómodo que despejar

                       
y derivar a continuación.

Como derivada de la tangente a una curva, o en este caso una circunferencia que sería un ejemplo de curva.

¡¡¡¡OjO!!!!!, no sé si es problema de expresión o conceptual, derivada de la tangente a una curva, no entiendo esto. Pretendía, esperaba que recordarte y ahora ya no lo sé, que  la pendiente de una recta tangente a una curva , la que sea, es precisamente el valor que toma la derivada en el punto de tangencia. 

Cualquier duda, pregunta.

Saludos

[samur88]

Muchas gracias por la respuesta Aladan, no quiero parecer obcecado, pero la idea de que dos curvas que se intersectan dan una recta la saque de mi libro de matemáticas, en el se me presenta esto:

Dadas dos circunferencias:




La intersección de ambas que sera:

Queda como , que sería la ecuación de una recta dada en su forma general, Ax + By + C = 0

¿Por qué mi libro dice esto?

Gracias Aladan lo demás lo entiendo todo bien, con respecto a lo que dije de la derivada fue un problema de expresión por mi parte, lo siento. Lo que quería decir, es que a partir de la derivada en un punto de la curva obtenemos la pendiente, que con dicha pendiente y dicho punto podemos obtener la recta tangente de la circunferencia en dicho punto.

Un saludo, y muchísimas gracias por todo.

[aladan]

Hola  samur88

Tranquilo, solo pareces una persona que desea aprender, por tanto pregunta y repregunta si las explicaciones dadas siguen dejandote dudas y sigue así. Si te fijas  la mayor parte de   mis mensajes de respuesta terminan con: Cualquier duda, pregunta

Voy a intentar deshacer lo que te confunde aunque repita alguna cosa ya dicha. Creo que lo que procede antes de nada es definir varias cosas previamente, hablemos de circunferencias aunque podiamos hablar en general de cualquier tipo de curvas:

- Circunferencia es un conjunto de puntos que cumplen la ecuación

                           

resalto en negrita el concepto que más tarde utilizaré.

- Intersección de dos conjuntos de puntos ( para nuestro caso 2 circunferencias, usaré dos concretas sin pérdida de generalidad) definidos por 

         

definimos la intersección  como el conjunto elementos  de la forma si y solo si pertenecen simultaneamente a ambos conjuntos, que expresamos como sigue:

             

- Forma de identificar el conjunto intersección: resolviendo el sistema



Ahora viene el quiz de tus dudas, la solución de este sistema como en todo sistema de 2 ecuaiones y 2 incógnitas nos va a proporcionar tantos pares  de la forma  como pares de valores de ambas incógnitas que satisfagan ambas ecuaciones, ¿correcto?

Podemos abordar la resolución de este sistema no lineal, hay variables de 2º grado, de varias formas, como cualquier sistema de este tipo, pero resulta que la forma más cómoda en este caso es la que emplea tu libro dejando cada ecuación  cero en el 2º miembro y construyendo una única ecuación igualando los primeros miembros, lo que nos permite simplicar eliminando los términos de 2º grado y dejando una relación lineal entre ambas variables, así

           

Ahora las cuestiones finales:

1.- Con lo obtenido hasta ahora, , ¿hemos resuelto el sistema?, respuesta NO.

2.- Esa expresión ¿es la ecuación de una recta?, respuesta SI

3.- Esa recta ¿es el eje radical de ambas circunferencias?, respuesta SI

4.- ¿Cómo terminamos de rsolver el sistema?, respuesta sustitución de la realción lineal hallada en el processo seguido hasta ahora despejamos una de ls variables, por ejemplo

                               
y sustituimos en cualquiera de las ecuaciones del sistema, por ejemplo

             


Solución del sistema            

Preguntas finales.

- ¿Son ambas soluciones la intersección de las circunfrencias? , respuesta SI

                       

- ¿Pertenecen estos puntos al eje radical de las circunferencias?, respuesta SI

- ¿Los puntos , pertenecen a ?, respuesta NO

Perdona el ladrillo, espero que ahora veas la diferencia entre la intersección y las cosas que se obtienen por el camino para hallarla.

En caso contrario, pregunta.

Saludos
         

[samur88]

Muchísimas gracias por todo Aladan, y por toda la información que aportan tus respuestas, de las cuales siempre aprendo muchísimo, y gracias a los demas foreros que colaborar en las dudas, sin todos vosotros no podría estudiar matemáticas por mi cuenta.

Disculpa la demora, pero estaba intentando entenderlo todo bien para no hacer preguntas redundantes.

Lo he entendido todo perfectamente, solo me surge una duda en lo siguiente:

- ¿Los puntos , pertenecen a ?, respuesta NO
         

Con esto quieres decir, que cualquier punto del eje radical, exceptuando P1 y P2, ningún otro punto mas de dicha recta, pertenecerá a la intersección de ambas circunferencias, ¿no?

Un saludo y muchas gracias por todo.

[aladan]

Con esto quieres decir, que cualquier punto del eje radical, exceptuando P1 y P2, ningún otro punto mas de dicha recta, pertenecerá a la intersección de ambas circunferencias, ¿no?

Exactamente eso.

[samur88]

Entonces todo aclarado , muchas gracias Aladan por todo. Un saludo.