Hola
Gaussaa) Definición de sigma-álgebra generada por una familia.
Dada una familia
de subconjuntos de
, se define la sigma-álgebra generada por
,
como la menor sigma-álgebra que contiene a
, que se construye a partir de la intersección de todas las sigma-álgebras que contienen a
.
Y me dan el ejemplo de
.
El concepto de sigma-álgebra lo entiendo, pero lo de "menor sigma-álgebra que contiene a
" creo que no lo tengo tan claro, y lo de la intersección tampoco.
¿Alguien podría darme algún ejemplo?
Si. Consideremos el experimento de tirar un dado. El conjunto de resultados posibles es
, que es un conjunto finito (y por lo tanto, numerable). En otros experimentos más complicados,
puede ser no numerable. En este caso, el conjunto de partes de
también es un conjunto finito, y es el siguiente:
Ahora consideremos una familia cualquiera de subconjuntos de
, por ejemplo,
. ¿Cuál es la
-álgebra engendrada por
? Nota que hay muchas
-álgebras que contienen a
, por ejemplo, mencionemos dos:
(cualquiera sea
,
es
-álgebra)
De todas las
-álgebras posibles que contienen a
, habrá una que es la "menor" de todas en el sentido de que sus elementos son comunes a todas las sigma-álgebras que contienen a
. En este ejemplo,
. Nota que cualquier otra
-álgebra
debe cumplir
.
Acá no entiendo bien la notación. Imagino que
debe denotar alguna variable aleatoria. ¿
qué es? ¿Una
-álgebra? Además cuando dice
supongo que se refiere a cualquier
y no a una constante en particular.
debe ser un boreliano. Pero sería bueno que aclararas estos detalles.
Saludos
