Duda con producto vectorial

[Hernan_ER]

Hola. Tengo el siguiente ejercicio:

Hallar y sabiendo:

El ángulo que entre u y v es

El ángulo entre u+v y u es



Yo planteé lo siguiente:







 
Luego:






Ahí usé el producto escalar, ahora voy a usar el producto vectorial para obtener más ecuaciones:






Pero luego planteo esto último:



Y aquí no sé como usar la propiedad distributiva del producto escalar. Es decir, no sé de que forma expresar la distribución.
Si asi:


o así:


Gracias.

[aladan]

Hola Hernan_ER

Te estás complicando la vida, ni producto vectorial ni escalar, situa el vector , el , el , plantea las siguientes ecuaciones

             

             

resuelve el sistema y listo.

Dentro de unos minutos te adjunto el gráfico, nota que en las ecuaciones los módulos de los vectores se indican por comodidad con sus letras nada más.

Spoiler: Gráfico (click para mostrar u ocultar)

DISCULPE, LA APLICACIÓN EMBEBIDA GeoGebra NO PUDO INICIARSE. POR FAVOR, ASEGÚRESE DE TENER INSTALADO Y ACTIVADO EN SU NAVEGADOR JAVA 1.4.2 (o posterior) (Toque aquí para instalar Java ahora.)

Saludos

[Hernan_ER]

No entiendo qué es lo que has planteado. No tomé ninguna coordenada porque sólo hablan de las normas. Pero de todas formas quiero sacarme la duda de lo que he planteado yo al final que inclucra la propiedad del producto vectorial (anticonmutativo). Además la profesora me dijo que haga eso ya que la idea es aplicar el producto vectorial y escalar.

Muchas gracias.

[aladan]

No entiendo qué es lo que has planteado

Es muy simple, he planteado 3 vectores cuyas posiciones relativas se ajustan al enunciado, para lo que se pide podemos situarlos como se ven en el gráfico donde el cálculo es más sencillo o girando el paralelogramo alrededor del origen un ángulo cualquiera. A partir de ahí aplico que las componentes de un vector   suma de los vectores son suma de las componentes homólogas de los vectores sumandos, es decir

Si

No tomé ninguna coordenada porque sólo hablan de las normas

El problema solo pide las normas, me gusta más módulos, pero no dicta las herramientas para calcularlas, así que ......

Además la profesora me dijo que haga eso ya que la idea es aplicar el producto vectorial y escalar

.

Me gustaria conocer lo que podemos extraer de ecuaciones como estas

1.- 2.- 3.-

ahora no veo donde te pueden llevar.

Pero de todas formas quiero sacarme la duda de lo que he planteado yo al final que inclucra la propiedad del producto vectorial (anticonmutativo)

   

La clave la tienes en el término anticonmutativo, lo correcto hablando de la distributiva del producto vectorial respecto de la suma, así

              

ahora bien como lo que planteas es directamente la norma, es exactamente lo mismo las dos formas que has escrito ya que

                                     

¿te sirve?

De todas formas estoy muy interesado en conocer como lo resuelve tu profesora por ese camino, ¿prometes contarmelo cuando lo haga? La intervención de numbsoul anula esta petición
Saludos

[numbsoul]

En tus primeras dos ecuaciones tienes tres incógnitas:.

Por otro lado,tenemos que .

Con esto tienes un sistema tres ecuaciones con tres incógnitas(que no es lineal).Intenta resolverlo.

[aladan]

Con esto tienes un sistema tres ecuaciones con tres incógnitas(que no es lineal).

Cierto, es una forma de abordarlo si la profesora exige ese camino, en cualquier caso son ganas de complicarse la existencia, pero puede tener su valor didáctico..

[Hernan_ER]

En tus primeras dos ecuaciones tienes tres incógnitas:.

Por otro lado,tenemos que .

Con esto tienes un sistema tres ecuaciones con tres incógnitas(que no es lineal).Intenta resolverlo.

Es decir que no es necesario plantear el producto vectorial, ¿no? Solo con las 2 ecuaciones debe salir. Voy a intentarlo. Gracias.

[Hernan_ER]

No puedo resolver el sistema. De las dos primeras ecuaciones depejo la norma de v en funcion de la norma de u+v:



Pero luego reemplazo en la ecuacion de la norma de u+v al cuadrado y:



Sigo teniendo 2 incógnitas en 1 sola ecuación.

[numbsoul]

Llamemos .

Tenemos las ecuaciones:







De las primeras dos ecuaciones,despejas en función de y reemplazas en la tercera ecuación.Sigue el consejo de Carlos

Corregido nuevamente;gracias Carlos

[Carlos Ivorra]

Ojo que aquí tienes una errata:

Luego:

En la segunda ecuación es , no .

Despeja en la primera ecuación y sustituye en las otras dos. Luego despeja en la de numbsoul (donde ya no está el producto escalar) y sustituye en la segunda. Así te queda una ecuación con una incógnita .

No había visto el último mensaje de numbsoul, pero ojo con la errata igualmente.

[Hernan_ER]

Ahh si, muchas gracias. Voy a intentar resolverlo ahora.

[Hernan_ER]

Estaba bien. El ejercicio decia el angulo entre u+v y u. Me equivoque al anotar la letra y puse entre u+v y v.

En las dos primeras ecuaciones ya tengo depesjado el producto escalar:







Las igualé y despejé la norma de v:




Y acá se me fue el producto interno.

[aladan]

Hola

Al haber hecho una propuesta de solución muuuuuucho más simple, no examiné detalladamente las ecuaciones resultantes de aplicar el proucto escalar. Bien como parece se pretende abordar la solución por esa conviene poner de manifiesto algún error no comentado todavía de la 2.-, correcta solamnte en su primera versión, esta

a partir de ahí la ecuación se desarrolla así



¡¡¡Uffffffffffffff!!!!!, cuando voy a enviar este mensaje, veo modificación del enunciado ...................

así que la ecuación inicial debía haber sido



así vale el resto, no he dicho nada.

Saludos

[Carlos Ivorra]

En las dos primeras ecuaciones ya tengo depesjado el producto escalar:







Las igualé y despejé la norma de v:




Y acá se me fue el producto interno.

¿Y ahora qué? Si vas manipulando así ecuaciones no es raro que luego te falten ecuaciones o te sobren incógnitas. Aunque en cada caso concreto puedas encontrar atajos, como norma general, el esquema que debes seguir es el siguiente:

Tienes tres ecuaciones con tres incógnitas, luego, si despejas una incógnita en una y la sustituyes en las otras dos te quedan dos ecuaciones con dos incógnitas. Si a continuación despejas una incógnita en una ecuación y la sustituyes en la otra, te queda una ecuación con una incógnita, que ya puedes resolver.

Haciendo esto no tienes pérdida. Si sólo despejas en dos y las igualas, has perdido una ecuación, pero en la tercera ecuación sigues teniendo las tres incógnitas, con lo cual te has salido del plan.

[Hernan_ER]

Ah claro, siempre me entrevero resolviendo sistemas sustituyendo. Lo he intentado pero queda muy complicado...
Vamos a pasar todo en limpio, tengo las ecuaciones:

1)


2)


3)



Reemplazo de la primera ecuación en la ecuación 2) y 3) quedando (le llamo x a ||u+v|| para mayor simplicidad como has indicado):



Luego despejo ||v|| de la primera y la sustituyo en la 3ra, ¿no? Quedando:






Y aquí me queda una ecuacion de 2do grado media complicada. Además me va a dar dos soluciones, la que es negativa es que la debo descartar, ¿no?

Gracias.

La solución me dió   y las dos son positivas

[Carlos Ivorra]

Comprueba si los vectores que obtienes a partir de cumplen las ecuaciones iniciales. Sospecho que no lo harán.

[Carlos Ivorra]

Si despejas x en 2) y sustituyes en 3) llegas a la ecuación de segundo grado , que es mucho más sencilla.

¿Estás seguro de que te dan el ángulo entre u + v y u en vez de v? Porque yo lo había resuelto con v y salía todo mucho más sencillo.

[Hernan_ER]

Efectivamente, la norma de v con esa solución da negativo. Pero eso es porque lo he hecho con mi calculadora. En realidad se obtiene:



Lo de abajo es positivo. Y la única manera de que lo de arriba sea negativo es que lo que está en paréntesis sea menor que 18 pero no me doy cuenta a simple vista. Da aproximadamente 16.

Si, el ejercicio dice el angulo entre u+v y u, me había equivocado. Disculpá.

Gracias.

PD: Quedaba muchísimo mas simple con tu despeje; acabo de verificarlo y da igual.

[aladan]

Con la modificación del enunciado, salvo error, las soluciones son

               

escribo porque he redondeado al primer decimal.

[Hernan_ER]

Efectivamente. Gracias