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Perdonen mi ingenuidad. Antes de ver la demostración oficial del lema, quise intentarlo por mí mismo. El problema es que no veo dónde está el error en mi demostración. ¿Me podrían indicar de favor en qué estoy mal?

LEMA: Sea

una función integrable en

. Entonces, $\displaystyle\lim_{\lambda \to{\infty}}{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)sen(\lambda x)}=0$

DEMOSTRACIÓN: Veamos primero que $\displaystyle\lim_{\lambda \to{\infty}}{\displaystyle\frac{cos(\lambda b)}{\lambda}}$ =0. Esto es claro pusto que $\left |{\displaystyle\frac{cos(\lambda b)}{\lambda}}\right |\leq{\displaystyle\frac{1}{\lambda}}$ . Como

es integrable en

, entonces debe estar acotada. Supongamos que $|f|\leq{M}$ . Entonces,

$\displaystyle\lim_{\lambda \to{\infty}}{\left |{\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)sen(\lambda x)}\right |}\leq{M \displaystyle\lim_{\lambda \to{\infty}}{\left |{\displaystyle\int_{a}^{b}sen(\lambda x)}\right |}}=M\displaystyle\lim_{\lambda \to{\infty}}{[\displaystyle\frac{cos(\lambda a)}{\lambda}-\frac{cos(\lambda b)}{\lambda}}]}$ =0.

NOTA: La demostración oficial usa el hecho de que para toda función integrable existe una función escalonada tan proxima como se quiera a dicha función.

	Autor	Tema: Sobre el Lema de Riemann-Lebesgue (Leído 103 veces)
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