En el Triángulo ABC, Encuentre la razón AP/PC.

[Gatubelyta]

Sea ABC un triángulo, M el punto medio del segmento BC y N el punto medio del segmento AM. Sea P el punto de intersección del segmento AC y la prolongación del segmento BN. Encuentre la razón AP/PC.

[mente oscura]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si trazamos una paralela  a , que pase por M y corte , en un punto: , tendremos que:
Como: , son medianas del nuevo triángulo ABM, y su punto de corte (baricentro) divide a la mediana en dos partes, con una relación 1/3, 2/3; por "triángulos semejantes", la proporción entre:, tiene que ser la misma 1/3, 2/3 (dependiendo como hayamos dibujado el triángulo, será AP>PC ó AP<PC)

Un cordial saludo.

[michel]

Otra forma.

Trazo por M la paralela MQ a BP.

MQ es la paralela media del triángulo BPC, por lo que Q es el punto medio de PC.

Análogamente, NP es la paralela media del triángulo AMQ, luego P es el punto medio de AQ.

Entonces los segmentos AP, PQ y QC son iguales, por lo que la razón pedida es 1/2.

DISCULPE, LA APLICACIÓN EMBEBIDA GeoGebra NO PUDO INICIARSE. POR FAVOR, ASEGÚRESE DE TENER INSTALADO Y ACTIVADO EN SU NAVEGADOR JAVA 1.4.2 (o posterior) (Toque aquí para instalar Java ahora.)

[mente oscura]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

1/2 ó 2, dependiendo del ángulo BAC.

Perdón, siempre me olvido de spoiler.
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 mente_oscura: no acabo de ver como la relación podría ser . El dibujo de michel parece inequívoco.

Saludos.

[mente oscura]

Sí, efectivamente, estoy equivocado. Es una solución única.
Un cordial saludo.