Las observaciones de los conjuntos cerrados del post anterior las puse porque te preocupaban dichos conjuntos.
Pero no las voy a usar en lo que sigue.
En este post voy a probar un resultado menos fuerte sobre
: que es un espacio
regular.
En otro post veré si me sale la cuenta de la
completa regularidad, que involucra funciones continuas, las cuales no tenía ganas ahora de usarlas.
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Recordemos que
es un espacio
completamente regular y
cerrado en
, denotando
la topología.
Se denota
la
extensión simple correspondiente.
Se tiene en particular que
es
regular (los puntos y los cerrados se pueden separar por abiertos).
Vamos a probar que es regular.
Podemos también definir
, que es un conjunto
-abierto.
Sea
un
cerrado, y sea
.
Existen abiertos
tal que
.
Claramente
o bien
.
Si
, tenemos que
es un conjunto
cerrado que no contiene a
, y que contiene a
.
Por lo tanto, como
es, en particular,
regular, tendremos que existen abiertos
, disjuntos, tales que
y
.
Pero
son también
abiertos, y esto permite separar por abiertos al par
en
.
Si
, observemos que
es cerrado en
, pero también lo es
, y no contiene a
.
Por lo tanto existe
abiertos en
, disjuntos, tal que
.
Denotemos
, la clausura de
en
,
y
, la clausura de
en
.
Se puede probar que, como
es topología más fina que
, necesariamente
.
Por ser
un
cerrado, obtenemos que
.
Pero como
, resulta que
.
Observemos que
es un
abierto, porque
es
-abierto, y
es tanto
como
abierto.
En particular,
no contiene a
.
Hemos podido separar por
-abiertos al par
también en este caso.
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En resumen, lo que hemos probado es que, por lo menos,
es
regular.
Nos faltaría probar el resultado más fuerte, de que es
completamente regular.
No lo hice porque no quise pelearme con las funciones continuas.
Veremos si sale algo más tarde.
