Acerca de multiplicidad de una raíz, característica de la matriz y algo más.

[athair]

Hola, quería dejar la siguiente duda.

Después de demostrar que: "La característica de la matriz es menor que 2 (para A: matriz de 3x3), si la raíz es raíz múltiple (del polinomio característico)"; y luego, observar genéricamente que, entonces, una raíz doble estará asociada con una característica 1 de dicha matriz, así como que una raíz triple lo estará con una característica de 0 de dicha matriz, luego de ello...en el libro (Santaló) se pasa a clasificar colineaciones del plano proyectivo y se encuentran cuestiones como (por ejemplo) la siguiente:

"Caso 3: colineaciones con dos puntos unidos y dos rectas unidas. Se trata de un caso en el que hay una raíz doble y otra raíz simple, para las cuales la característica de la matriz es 2. Luego...(etc.)"

Hasta donde puedo comprender, me da la sensación de que la proposición a cuya demostración se alude en el párrafo precedente, es contradictoria con el hecho, implicado en la descripción dada del caso 3, de que una raíz doble genere una característica igual a 2 en la matriz .

Algo similar ocurre con la descripción de los casos subsiguientes.

La pregunta que haría es: si esto es contradictorio ó, si no lo es; y este último caso, cómo se compatibilizan ambas instancias.

Bueno, muchas gracias!!

[HernanV]

¿A qué llamas "la característica" de la matriz?. ¿A la ecuación ?.

[athair]

Diría que característica de la matriz es el rango de la matriz (dimensión del espacio de filas...si por ejemplo, se trabaja con filas) cuando es la i-ésima raíz característica (del polinomio característico dado por ).

Según esto, en la proposición citada se refiere una relación entre la multiplicidad de un autovalor, y dicho rango de la matríz así generada por el mismo (al reemplazar en lugar del genérico, en la matriz que forma el polinomio característico).

Luego, a mi parecer (bastante limitado), se establecen dos proposiciones distintas sobre dicha relación entre rango y multiplicidad. Pero probablemente haya algo que yo desconozca. Saludos y gracias!

[el_manco]

Hola

 Veamos. En general dada una matriz cuadrada , se define el polinomio característico de como el polinomio:



 es un polinomio de grado .

 Una raíz del polinomio se llama un autovalor de , y relativo a él se define:

 - La multiplicidad algebraica de como la multiplcidad de como raíz del polinomio característico, es decir, el mayor entero ma tal que divide a

 - La multiplicidad geométrica de , como la dimensión del espacio de autovectores asociado a , es decir, como la dimensión del subespacio de vectores que cumplen que . Equivalentemente:



 La relación entre la multiplicidad geométrica y algebraica es la siguiente:



 De ahí se deduce que para un autovalor :



Concretando ahora en tu ejemplo.

 Para una matriz con dos autovalores y , el primero con multiplicidad algebraica dos y el segundo con multiplicdad algebraica uno, se tiene que:

 - Necesariamente la multiplicidad geométrica de es .

 - Para pueden ocurrir dos casos:

 1) Su multiplicidad geométrica es . Con lo cual . Geométricamente corresponde al hecho de que haya dos puntos fijos (correspondientes a los autovectores asociados a cada uno de los autovalores) y dos rectas invariantes (la que une los dos puntos fijos y la correspondiente al subespacio invariante asociadao al autovalor , dado por .

 2) Su multiplicidad geométrica es . Con lo cual . Geométricamente corresponde al hecho de que haya una recta de puntos fijos (asociados a los autovectores del autovalor ), otro punto fijo (asociado al autovector del autovalor ) y una familia 1-dimensional de rectas invariantes que resultan de unir los puntos de la recta fija con el otro punto fijo.

Saludos.

[athair]

Hola, enormemente agradecido por la ordenada y puntual respuesta!! Haré algunas preguntas en relación a la respuesta, y en el contexto de que el tema me resulta un poco lejano (o inasible).

0-La suma de las ma´s debe ser 3?

1-La ma es la que mantiene la relación con la anulación de las derivadas del polinomio característico (v.g: si anula a éste mismo, y a su primer derivada, entonces sería raíz doble, algebraicamente hablando)? O no necesariamente?

2-La mg es la dimensión del llamado subespacio propio del autovector (ligado al autovalor con el que se asocia o del que emerge...)?

3-= dimensión del núcleo de , me lleva a preguntar acerca de la naturaleza del núcleo de .

Aquí sólo se me ocurre lo siguiente: en algunos casos de cálculo de autovectores, sucede que para (si no me equivoco) sólo algunos autovalores, el sistema de ecuaciones de cuya resolución surge el autovector respectivo es tal, que el autovector encontrado sólo puede expresarse en términos de una de las variables (), es decir, resultando una expresión como la siguiente: (en el caso de una matriz 2x2...).

¿Algo de esto se relaciona con la cuestión del núcleo de y su dimensión? (es decir, sino, de dónde surge la magnitud de la mg?)



Bueno, la última parte (de la clasificación...en efecto se trata de la alternativa 1 que tú das) todavía me resulta un poco complicada, así que la dejo para otro momento. Un saludo y gracias!!

[el_manco]

Hola

0-La suma de las ma´s debe ser 3?

No necesariamente. La suma de los multiplicidades algebraicas es menor o igual que el orden de la matriz. Si es de orden tres, es menor o igual que tres.

El problema está en que si trabajas con números reales, el polinomio característico pudiera tener autovalores complejos. Por ejemplo si tomas la matriz:



El polinomio característico es:



Tiene una única raíz real (y otras dos complejas y , que no nos valen si sólo trabajamos en los reales) con multiplicidad algebraica .

1-La ma es la que mantiene la relación con la anulación de las derivadas del polinomio característico (v.g: si anula a éste mismo, y a su primer derivada, entonces sería raíz doble, algebraicamente hablando)? O no necesariamente?

Si, eso es correcto. La definición (equivalente a la que di antes) de multiplicidad algebraica de una raíz en función de las derivadas es: \lambda_0 es raíz de multiplicidad algebrica de si:

para

donde representa la -ésima derivada.

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Es decir que se anulen el polinomio y sus m-1 primeras derivadas (pero no la ) para el valor .

2-La mg es la dimensión del llamado subespacio propio del autovector (ligado al autovalor con el que se asocia o del que emerge...)?

Correcto.

3-= dimensión del núcleo de , me lleva a preguntar acerca de la naturaleza del núcleo de .

Aquí sólo se me ocurre lo siguiente: en algunos casos de cálculo de autovectores, sucede que para (si no me equivoco) sólo algunos autovalores, el sistema de ecuaciones de cuya resolución surge el autovector respectivo es tal, que el autovector encontrado sólo puede expresarse en términos de una de las variables (), es decir, resultando una expresión como la siguiente: (en el caso de una matriz 2x2...).

¿Algo de esto se relaciona con la cuestión del núcleo de y su dimensión? (es decir, sino, de dónde surge la magnitud de la mg?)

No entiendo muy bien lo que quieres decir. El cálculo de la multiplicidad geométrica a través de la dimensión de ese núcleo viene de la siguiente. La definición de multiplicidad geométrica de es la dimensión del conjunto de autovectores asociados a , es decir:



 Ahora la clave está en que la condición puede reescribirse como:





 y por tanto:



 Pero los vectores que multiplicados por una matriz dan cero son precisamente el núcleo de la matriz. Por tanto:





 Finalmente es un resultado bien conocido de Álgebra Lineal que para una matriz cuadrada :



 y así:



Saludos.

[athair]

Hola, he estado repasando estos conceptos con el libro y, si no me equivoco, se me han despejado algunas cuestiones.

Por un lado, la multiplicidad geométrica, siendo la dimensión del núcleo de la matriz , en el libro (de Birkhoff) la denomina nulidad. En este contexto, establece el resultado de que: nulidad + rango=n.

No se me hubiera ocurrido de ningún modo que lo que en el libro denominaba nulidad, es la llamada mg.

Por otro lado, hasta donde creo comprender, en el libro no menciona explícitamente la ma (menos aún, ergo, la diferencia con la mg). De ahí que, para mí, la relación entre ambas era una fuente de confusión.

Respecto de la naturaleza del núcleo, tal como me refería antes, creo que buscaba algo como lo siguiente:


-Dado que el Rango (dimensión del recorrido de la transformación cuya matriz es la matriz dada), es la dimensión del espacio de filas; y puesto que todo transformado , puede escribirse como una combinación lineal de las filas de la matriz A, con coeficientes (ó coordenadas?) de la c.l dados por los componentes del vector inicial , entonces, la dimensión de este espacio vendrá dada por el número de filas l.i en la matriz; luego,

-El núcleo se podría expresar mediante aquellas conjuntos de coeficientes (v.g vectores en el dominio) cuyas combinaciones lineales de las filas de la matriz, son tales que contienen/expresan la relación de dependencia lineal (v.g las operaciones elementales entre filas) entre ciertas filas de la matriz; ergo, conduciendo a transformados que serán vectores nulos.

-Si hay más de una fila linealmente dependiente de alguna otra fila fija (por ejemplo), habría dos (clases de) vectores en el dominio que expresarían alguna (de ambas) relaciones de dependencia lineal entre filas, por lo tanto, dos clases de vectores en el dominio de T que cuyos transformados serían nulos. Por esto, estas dos clases de vectores formarían una base en el núcleo; es decir, el núcleo tendría dimensíón 2 (correspondiendo al hecho de que en la matriz hay, en este ejemplo, dos filas en relación de dependencia lineal respecto de otra dada).


Me surgen algunas preguntas sobre otros aspectos:


1-¿Un polinomio de grado n (el polinomio característico de una matriz nxn) tiene siempre n raíces (contando las ma's) (en cualquier campo, digamos)?

2-¿ ?

2-a) ¿ ?

3-¿El autovector de es diferente del autovector de ?


Bueno, infinitamente agradecido!! Saludos!
 

[el_manco]

Hola

1-¿Un polinomio de grado n (el polinomio característico de una matriz nxn) tiene siempre n raíces (contando las ma's) (en cualquier campo, digamos)?

En cualquier campo no; sólo en un campo algebraicamente cerrado. Por ejemplo no en los reales, pero si en los complejos. Y en mi anterior mensaje tienes un ejemplo de polinomio de grado con sólo una raíz real.

2-¿ ?

Puede coincidir o puede no coincidir.

2-a) ¿ ?

Correcto.

3-¿El autovector de es diferente del autovector de ?

En primer lugar no hables de "el autovector". Puede haber muchos autovectores asociados al mismo autovalor (siempre hay infinitos simplemente tomando múltiplos de uno de ellos; pero además puede haber más de uno independientes).

Por otra parte no me gusta mucho llamarle autovectores a los vectores del núcleo de  , aunque algunos autores lo hacen.

En cualquier caso, la cuestión (2) que preguntaste debería de responderte claramente también a esta.

Saludos.

[athair]

Gracias por las respuestas! Me dirijo a la respuesta a la pregunta 3, y concentro allí algunas preguntas.

Acerca de la expresión "autovectores de ", ó "autovectores de ", reconozco que debería haber escrito en su lugar, por ejemplo, "autovector por " y "autovector por ", a lo sumo; pues, evidentemente, los autovectores pertenecen a (ó corresponden a) la matriz A (y no a sus polinomios).

Sobre lo de la cantidad de autovectores, debí haber escrito algo así como "el autovector de la matriz...salvo múltiplos escalares" (suponiendo aclarado lo del párrafo precedente aquí). Pero quisiera aclarar ahora, si lo de que "puede haber más de uno linealmente independiente" aplica sólo para el caso de la matriz (y no para aquella correspondiente a la 1era potencia). ¿Es correcto esto?

Tengo la siguiente pregunta:

1-En el caso de existir una raíz triple () para una matriz inicial A, ello llevaría a la evaluación del subespacio invariante (de A) asociado a (el núcleo de) la matriz ?

2-Idem. antes: podría ser que, por ejemplo, ; para ?

Bueno, gracias!!!

[el_manco]

Hola

1-En el caso de existir una raíz triple () para una matriz inicial A, ello llevaría a la evaluación del subespacio invariante (de A) asociado a (el núcleo de) la matriz ?

El núcleo de esa matriz efectivamente te da el subespacio invariante relativo al autovalor .

2-Idem. antes: podría ser que, por ejemplo, ; para ?

Si, podría ser.

Saludos.

[athair]

Gracias por las respuestas!!! Estoy siguiendo algunas cuestiones sobre plano proyectivo, en parte para ver si puedo esbozar alguna pregunta más ó menos sensata sobre algún aspecto del tema. Saludos!