Demostración matriz simétrica si y sólo si:

[Masba]

Hola! Espero me puedan ayudar con lo siguiente:

Desmuestra que una matriz de x es simétrica, i.e
si y sólo si
para cualesquiera dos vectores e en .

[pabloN]

Desmuestra que una matriz de x es simétrica, i.e
si y sólo si
para cualesquiera dos vectores e en .

Para el directo, ten en cuenta que y que . Por lo tanto te va a quedar:



Intenta ahora el recíproco y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos

PD. Asumí que representa el producto interno habitual en pues de lo contrario, si fuera producto de matrices, no estaría bien definido.

[Masba]

Le pregutaré esa aclaración a mi maestro, que como dices es necesaria.

Una pregunta, cual es la hipótesis que usas en tu demostración? solo para no perderle la estructura.

[pabloN]

Le pregutaré esa aclaración a mi maestro, que como dices es necesaria.

Ok. Después nos comentas. Pero supongo que sí tiene que ser el producto interno habitual. Si fuera producto de matrices fijate que e ¡también!. Luego, sería el producto de dos vectores columna y eso no se puede hacer.

Una pregunta, cual es la hipótesis que usas en tu demostración? solo para no perderle la estructura.

Es (pues ).

Saludos

[Masba]

Le pregunté a mi maestro y dijo que si era el interno.
Aun estoy pensando el recíproco. Soy nueva en esto de demostrar.

[el_manco]

Hola

 Para el recíproco, si llamas a los vectores de la base canónica, estudia que obtienes si haces los productos:

  y

Saludos.

[Masba]

Creo que no lo visualizo 
ayuda por favor!!

[pabloN]

Hola

Creo que no lo visualizo 

Observa que donde denota la columna i-ésima de . Si ésto aún no lo visualizas, dime y escribo la matriz y el vector columna para que quede más claro. Por lo tanto:



De la misma manera, y entonces:



Ahora si igualamos se obtiene...

Saludos

[Masba]

Se obtiene , es decir .

Entonces esto funciona para todos los vectores ??

[pabloN]

Se obtiene , es decir .

Correcto  .

Entonces esto funciona para todos los vectores ??

Acá no entiendo exactamente a lo que te refieres... 

[Masba]

Es que usó , vectores en base canónica. Entonces lo que se cumple con estos vectores, se comple para todos.? si no los tomo en base canónica.

[pabloN]

Es que usó , vectores en base canónica. Entonces lo que se cumple con estos vectores, se comple para todos.? si no los tomo en base canónica.

La idea es que tú partes de la hipótesis de que se cumple para cualquier par de vectores e en . Entonces, en particular, se cumple para los vectores de la base canónica. Y eso es suficiente para demostrar (con el argumento que sugirió el_manco). Y eso es todo lo que quieres demostrar. Ya antes habías probado el directo y ahora quedó demostrado el recíproco.

No sé si eso aclara tu duda. En cualquier caso, dime.

[Masba]

Si, esa era mi pregunta. Gracias!