Pero ahora en serio.La duda que me queda es puntualmente, con algo como esto:
Si sólo vas a usar propiedades conocidas de los senos y los cosenos, o las coordenadas esféricas, es lo mismo que pensar en transformaciones ortogonales, y me parece más directo usar esto último, pasando previamente por una base ortonormal que se transforma en la base canónica por una matriz ortogonal.
A pesa de que en el proceso de Gram-Schmidt se generan vectores ortogonales en sentido algebraico, da igual, porque no los ortogonalizo para eso, sino sólo para transportar su geometría al plano XY.
No interesa si el ángulo es realmente perpendicular en sentido geométrico, entre los vectores de la base ortonormal.
Hasta que no vea una demostración completa hecha de esa manera, voy a seguir pensando que "transportar la geometría" así, es a la larga lo mismo que decir que el ángulo entre
y
es
por definición. De hecho, cuanto más lo pienso, más me convenzo de que es así, como decía en mi mensaje anterior, que si uno va a aplicar funciones que por definición preservan tal y tal cosa, no va a llegar a nada, y para probar que lo que preservan es lo que uno de verdad necesita, se estaría cayendo de vuelta en el mismo problema original.
Creí que el tema estaba cerrado, jeje.
Sean
dos vectores en
no nulos y L.Indep.
Definimos
, un vector de norma 1.
Ahora hacemos
.
Eso es el proceso de Gram-Schmidt aplicado a un solo vector desde
, el
.
Se obtiene que
.
Por lo tanto
es (algebraicamente) ortogonal a
.
Finalmente hacemos
.
Esto nos da dos vectores unitarios
que general el mismo plano P que generaban
.
Voy a seguir un rato con el álgebra.
Ahora, sabemos que, algebraicamente, el conjunto linealmente independiente
puede extenderse a una base
de
.
Eso es un resultado de álgebra lineal.
A partir de de
.
Es posible a partir de aquí continuar el proceso de Gram Schmidt, obteniendo una base ortonormal
.
etcétera...
Ahora escribimos la matriz
.
Esa matriz es la matriz de cambio de base de
a
.
Tiene la propiedad de que
. Es una matriz
orto-"normal".
__________
Se observa que
transforma el plano
, que era el plano
, en el plano
, que es el plano
.
La pregunta es si esa transformación lleva la geometría del plano
en el plano
.
Bueno, esto depende de qué entendamos por "conservar la geometría".
En principio,
conserva el
producto interno:
En particular, conserva normas:
Y entonces conserva distancias, porque es lineal:
______________
Además, conserva líneas rectas, semirrectas, y segmentos:
Si
es una recta en
, entonces
es también una recta:
.
Algo análogo sucede con semirrectas y segmentos.
Si
es un
semiplano en
con recta limitante
, entonces
es un semiplano en
con recta limitante
.
Para ello, basta escribir la descripción del semiplano
, donde
es un vector linealmente independiente respecto
en el plano
.
Tenemos que
es un semiplano en el plano
con recta limitante
.
Por último, veamos cuál es una definición geométrica de
ángulo.
Dados tres puntos
no alineados, en un plano,
la recta
limita el semiplano
, mientras que
la recta
limita el semiplano
.
Además,
contiene el punto
y
contiene el punto
.
Se define el
ángulo geométrico entre
, con vértice en
, como la intersección
de los dos semiplanos
.
Si te fijás, para esta definición de ángulo no estoy usando nada de ortogonalidad, ni producto interno, sólo la independencia lineal de las direcciones en un plano.
Ahora, la transformación
conserva
ángulos geométricos porque conserva semiplanos.
Otra cosa que conservan estas transformaciones son incidencia y paralelismo, lo cual es bastante fácil de verificar.
Me refiero a
paralelismo en el sentido de que dos rectas en el plano
no se cortan en punto alguno.
__________
Todas las propiedades de conservación anteriores las cumple cualquier transformación lineal invertible,
así que lo que distingue a
es que
conserva distancias.
Ahora no sé cómo seguir, pero vos aceptaste la definición trigonométrica de ángulo.
Así que, trabajando así, sale directo, porque en el plano
tomamos un vector unitario
cualquiera.
Trazamos por
las rectas paralelas a los "ejes"
:
.
Se ve que
corta al eje
en un valor
, puesto que la ecuación:
dos da que:
, de donde
.
Del mismo modo,
corta al eje
en un valor
.
¿Es cierto que, por ejemplo,
?.
Esto proviene, otra vez, de la definición de norma o distancia:
Consideramos ahora el triángulo
.
La distancia de
a
es la misma que de
a
, por lo tanto el lado
mide
.
De igual modo, el lado
mide
.
Finalmente, el lado
mide
.
La pregunta acá es si los lados
del triángulo son perpendiculares en sentido geométrico.
Eso no sé, porque hay que definir lo que significa ser
perpendicular en sentido geométrico.
(Ya voy con eso).
Como sea, en sentido trigonométrico podés definir
, y esos números se conservan por la aplicación
.
