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jacks

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Trig prove

« : 05/05/2012, 11:15:26 pm »

How can i prove $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\sin \left(\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2^n}$


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el_manco

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Re: Trig prove

« Respuesta #1 : 11/05/2012, 10:05:19 am »

Hello

We can use the following formula:

$sin(nb)=2^{n-1}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}sin\left(b+\dfrac{k \pi}{n}\right)$ (1)

Now, call:

$P=\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\sin \left(\dfrac{(2k-1)\pi}{4n}\right)$

Note that:

$\sin \left(\dfrac{(2k-1)\pi}{4n}\right)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{(2k-1)\pi}{4n}\right)=\cos \left(\dfrac{(2(n-k)+1)\pi}{4n}\right)$

Thus:

$P^2=\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\sin \left(\dfrac{(2k-1)\pi}{4n}\right)\cos \left(\dfrac{(2k-1)\pi}{4n}\right)=\dfrac{1}{2^n}\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\sin \left(\dfrac{(2k-1)\pi}{2n}\right)=\dfrac{1}{2^n}\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}\sin \left(\dfrac{k\pi}{n}+\dfrac{\pi}{2}\right)$

Applying formula (1) for $b=\pi/2$ :

$P^2=\dfrac{1}{2^n}\dfrac{1}{2^{n-1}}=\dfrac{2}{2^{2n}}$

Best regards.


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iBágoas polas Fragas do Eume.!

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Re: Trig prove

« Respuesta #2 : 15/05/2012, 12:24:35 am »

Thanks el_manco for nice solution

but how can i prove the following formula:

$sin(nb)=2^{n-1}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}sin\left(b+\dfrac{k \pi}{n}\right)$ (1)

Thanks


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pabloN

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Re: Trig prove

« Respuesta #3 : 15/05/2012, 01:25:22 am »

Cita de: jacks en 15/05/2012, 12:24:35 am

Thanks el_manco for nice solution

but how can i prove the following formula:

$sin(nb)=2^{n-1}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}sin\left(b+\dfrac{k \pi}{n}\right)$ (1)

You should know that el_manco wouldn't have used a non-trivial identity without prove it :risa:

. Look at this.


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I have a dream that one day no message of "Connection Problems" will appear. I still have a dream... :risa:

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Re: Trig prove

« Respuesta #4 : 22/05/2012, 03:20:15 am »

Thanks PabloN got it


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