Aplicaciones lineales, núcleo e imagen

[Gaussa]

Hola.

Tengo dudas en estos dos ejercicios de aplicaciones lineales.

a) Sea dada por . Halla la matriz asociada, núcleo e imagen de la aplicación.

La matriz asociada que me sale es

Una base del núcleo me sale

Y una base de la imagen , pero no me queda como una matriz, y al calcular la del núcleo sí.

b) Sea tal que . Hallar base y dimensión del núcleo y de la imagen.

Me sé las definiciones, pero me depista que sea con polinomios, nunca había visto un ejemplo de este tipo. Si alguien me ayuda con uno de los dos, núcleo o imagen, intento hacer el otro sola.

Saludos y muchas gracias

[Carlos Ivorra]

Respecto al primero, las matrices de tu base del núcleo no están en el núcleo. Sus imágenes por f no son nulas. Por ejemplo, la primera componente de la imagen de la primera es .

La base que das de la imagen no tiene sentido, pues debe estar formada por dos vectores columna de tres coordenadas cada uno. De las cuatro columnas de la matriz que has hallado (que está bien) te has de quedar con dos que sean linealmente independientes, porque el rango de la matriz es 2.

Para hallar el núcleo iguala a cero y expresa a, b, c, d en términos de dos parámetros.

Para el segundo, si te lía que sean polinomios, llama , de modo que el polinomio es el vector , e igualmente puedes llamar .

Así, la imagen del vector de coordenadas tiene coordenadas . En términos de coordenadas, es como si tuvieras la aplicación de en .

[Gaussa]

Hola. Muchas gracias.

Respecto al primero, las matrices de tu base del núcleo no están en el núcleo. Sus imágenes por f no son nulas. Por ejemplo, la primera componente de la imagen de la primera es .

Sí, lo tenía bien planteado, pero tenía un error en los cálculos, me comía siempre un signo menos, y me ha costado darme cuenta, que siempre cometía el mismo error.

Ahora lo he comprobado y sí que me sale

La base que das de la imagen no tiene sentido, pues debe estar formada por dos vectores columna de tres coordenadas cada uno. De las cuatro columnas de la matriz que has hallado (que está bien) te has de quedar con dos que sean linealmente independientes, porque el rango de la matriz es 2.

Uf, es verdad, no me había dado cuenta de que no tenía sentido. Sí, había calculado que el rango de la matriz era 2, pero los había cogido en filas en vez de en columnas. ¿Valen ?

Y el segundo llevo un rato pensando con lo que me has escrito, pero no acabo de ver por qué , cómo obtienes la imagen.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Lo que dices del primero ya está todo bien.

Respecto al segundo, respecto a las bases que te he definido, el polinomio es el mismo que , y te dicen que su imagen es el polinomio , que es el mismo que el polinomio , así pues, la aplicación que te dan es la que al polinomio de coordenadas le asigna el polinomio de coordenadas .

Así, por ejemplo, la imagen está generada por los vectores de coordenadas , que no son sino , es decir, . Ésa es la base que te piden.

[Gaussa]

Muchas gracias, ya lo entendí.

Escribo lo que me han dado las bases del núcleo y la imagen que me pedían.

Así, por ejemplo, la imagen está generada por los vectores de coordenadas , que no son sino , es decir, . Ésa es la base que te piden.

Es un sistema generador, pero, ¿la base no sería ?

[Carlos Ivorra]

Escribo lo que me han dado las bases del núcleo y la imagen que me pedían.

Sí, pero, dados los términos del enuncido, queda mejor si, en lugar de dar las coordenadas, das el vector (polinomio) correspondiente, que en este caso es .

Así, por ejemplo, la imagen está generada por los vectores de coordenadas , que no son sino , es decir, . Ésa es la base que te piden.

Es un sistema generador, pero, ¿la base no sería ?

Ésas son las coordenadas de los vectores de la base que, por lo tanto, son , y es mejor que des la respuesta así.

[Gaussa]

Muchas gracias Carlos, ya lo tengo claro.

Saludos.