Sistemas de ecuaciones con matrices (selectividad)

[pineapple]

Buenas, estoy repasando para la PAU y no consigo resolver este problema (o más bien no sé si se resuelve así), a ver si me pueden ayudar:

1) Resuelve este sistema en función de los valores de m:

-x +y -z = -1
4x -2y +2z = 2m
-3x -2y +mz = -4


El determinante de A me da -2m +4, por lo que:

Si m = 2, rg (A) = 2
Si m =/= 2, rg (A) = 3


El determinante de la matriz ampliada (A*), sin sustituir el 2 en la matriz, me da -10m + 22, pero sustituyendo el 2 me da 2 (obvio) el problema es que cuando m valga 2'2, el rango de A* será 2, porque el determinante será 0. Entonces no se puede decir simplemente:

Si m = 2, rg (A) = 2, rg (A*) = 3  ---> S.I.
y
Si m =/= 2, rg (A) = 3, rg (A*) = 3, nº icógnitas = 3 ----> S.C.D.

Porque no siempre que m sea un número distinto de 2, el rango de A* será 3, puesto que con m = 2'2 será rg (A*) = 2


Así que habrá que poner:

Si m = 2, rg (A) = 2, rg (A*) = 3 ---> S.I.
Si m = 2'2, rg (A) = 3, rg(A*) = 2 ---> S.I.
Si m =/= 2, y m =/= 2'2, rg (A) = rg (A*) = nº icógnitas = 3 ---> S.C.D.


Aunque en algún lugar he leído que el rango de A nunca puede ser mayor que el de la matriz ampliada, pero no sé.

La duda me ha surgido porque en el libro de texto sale un ejemplo en el que hayan el determinante de A* sustituyendo la incógnita por los valores que hacen que el rango de A sea 2, y ya está. ¿Es así como lo tengo que hacer, me olvido del 2'2? 


Muchas gracias , espero que se entienda. 

[Gauss Kramer Dirac]

Hola, pineapple.

Como bien dices, el rango de A no puede ser mayor que el de A*.
La matriz de los coeficientes, A, es cuadrada de orden 3 mientras que la matriz ampliada del sistema, A*, es de orden 3x4. Como un determinante sólo puede hacerse de una matriz cuadrada (y la ampliada NO lo es), lo que se hace es buscar un menor complementario de orden 3 distinto de cero.

Como te piden que resuelvas el sistema según los valores de m, lo lógico es realizar previamente la discusión del mismo ya que en los casos que sea incompatible no tendrá solución, y en caso de que sea compatible tendrás una única solución para cada incógnita o multiples según sea determinado o indeterminado respectivamente.

[pineapple]

Ya si eso lo sé, pero el problema es que al discutirlo no sé si discutirlo sólo a partir del determinante de A, o también a partir del determinante de A*, no se si se me entiende, de ahí lo del m = 2'2.

Por cierto, me ha surgido una pequeña duda sobre planos y rectas, está bien si la posteo en este mismo tema?

[Piockñec]

Hola Pineapple,

si bien tengo entendido, el determinante de una matriz no cuadrada (es decir, 3x4) no tiene sentido ni se puede hacer, pero creo que comprendo a qué te refieres.
En cuanto a la discusión de valores, tenemos claro que si m es distinto de 2, el sistema será compatible determinado.

Si m es igual a 2, ahí está el problema. Lo suyo es sustituir directamente el 2 en la matriz ampliada, porque YA suponemos que m=2 (eso es lo que estamos analizando), y hacer todos los determinantes posibles.
Así lo hacía yo en selectividad para que al examinador le quede claro que comprendo el concepto de determinante.
Si todos los determinantes me daban 0, entonces ya decía que era compatible indeterminado.
Y en cuanto un determinante me daba distinto de 0, entonces ya decía que era incompatible.

Y eso es todo!

[pineapple]

Ah ahora lo veo, lo que había dicho era una tontería, estaba mezclando pasos. Gracias a los dos.
En cuanto a la otra duda no quiero ser pesado, así que cuando acabe el tema de planos haré un tema para la duda.