problema existencial

[argentinator]

Yo ya te respondí eso anteriormente robotxd.

Todas las palabras significan lo mismo, reemplazan al símbolo lógico de implicación:

[Piockñec]

Mis conocimientos sobre inducción y demostraciones, son bien escasos, así que mi entrada será puntual con algo que quisiera comentar.

En primer lugar, me ha encantado el tema.

En segundo, hay un hecho que muchos no se dan cuenta, y algo realmente evidente, pero hay quien nunca lo ha llegado a pensar:

Las matemáticas no existen. No tienen existencia.

El 1 no existe. El 2 no existe, la suma no existe.
Igual que pensamos en una persona, sólo vemos una figura rellena de color, y nuestra mente le da profundidad a la imagen. Más allá: nuestra mente interpreta los rayos que les llegan. Más allá: Creemos en cuanto nuestra mente interpreta subconscientemente, y en lo que conscientemente interpretamos. Así, una persona (conjunto enorme de células), es 1 persona. Y 1+1=2... siempre.

De ahí que 1, que no existe en sí, demos por hecho su existencia (supongamos..., por eso en los problemas se parte de: Sea un conductor rectilíneo (sea, subjuntivo de ser)), para continuar con el 1+1, las multiplicaciones, divisiones, continúas por rectas, y así la deducción de las matemáticas a partir de un hecho supuesto: la existencia del 1, y que 1+1=2, o que por un punto sólo puede pasar una sola recta paralela... o no. (Recuerda la polémica del 5º postulado de Euclides (de nuevo, "postulado")). Ahí el problema de los axiomas.

Mi recomendación: Léete el Discurso del Método de René Descartes y ojéate el Teorema de completitud de Göedel.

Son dos documentos vitales para entender la no existencia de las matemáticas, y su dudosa veracidad. Porque sí, es dudosa: la duda radica en la validez de los axiomas (su compatibilidad) y de la lógica de deducción (su contradictoriedad).

Y en cuanto al lenguaje, lee lo que dice Nietzsche acerca del lenguaje, vieja hembra engañadora... Es curioso cómo hay civilizaciones que ven cómo las mesas "verdean", el cielo "azulea", pero no ES verde, ni ES azul, semper sí. El lenguaje puede determinar latentemente nuestra forma de ver las cosas. Gracias a Dios, los humanos no somos máquinas, y tenemos empatía para poder ponernos en lugar del autor, considerar el contexto, y entender el vocabulario y las expresiones que se nos dicen en el libro... o no. En tal caso, problema del autor: yo no le compraría el libro

Un saludo, ¡y que te vaya muy bien!

[feriva]

Hola, robotdx. Sí, has entendido bien esto, has entendido que hay que tener un punto de partida, algún número para el que se cumpla; si no, no se no os ocurriría probar por inducción una proposición, no se nos pasaría por la cabeza (a no ser que nos lo manden como ejercicio).
  Pero ésta no es la cuestión transcendente en el caso del 1, no sólo es ésa y además ésa es la menos importante. El 1 elevado a cualquier potencia es igual a sí mismo, y esto sólo pasa con este número natural, y con ningún otro; el 1 multiplicado por un número “k” es igual a “k”, es neutro, y esto sólo pasa con el 1; el 1 no tiene ningún número natural, que tenga valor, a la izquierda, es el primero de la sucesión, y esto sólo le pasa al 1, con lo que sólo si .
Estas propiedades particulares que sólo tiene el 1 respecto de los demás números naturales pueden hacer en ocasiones que la inducción falle para n=1 y no falle para ningún otro n; con lo que si tú probases la inducción haciendo la hipótesis para y comprobando después que se cumple para podrías asegurar que se cumple a partir de , incluido, en adelante, pero no podrías asegurar que se cumple para porque, por las propiedades particulares del 1, puede fallar sólo para él. Es decir, dicho de otra manera, el desarrollo inductivo que se hace en general usando la letra “n” en las igualdades, puede no detectar un posible fallo en la proposición para n=1; por eso te recalca Argentinator que hay que probarlo a mano, eso es lo que te quiere decir; y esto no es opcional, hay que hacerlo, porque el 1 puede romper la generalidad él solo sin ayuda de nadie más.

 Ya te digo que había un ejemplo -al menos uno que recuerde- aquí en el foro, en el que se pedía probar una caso para , lo he buscado pero es como intentar encontrar una aguja en un pajar. En el buscador de Internet encuentro uno que empieza diciendo así:

   Demostrar por inducción que para n >1 la potencia enésima de un número más la …

pero no puedo entrar a la página porque Google dice que es una página atacante.

 Ahora piensa una cosa, ¿tiene utilidad probar por algún número, 2, 3, el que sea más cómodo, en el caso de un problema en el que se nos pida probar por inducción algo para ? La respuesta es sí. Esa proposición que nos dan podría perfectamente ser falsa y fallar para todos los números naturales, con lo que si probamos, antes de hacer nada, para algún número natural y vemos que falla, ya hemos resuelto el problema, la proposición es falsa porque falla al menos en un caso y nos hemos ahorrado toda la pesadez del desarrollo; tenemos lo que se llama un contraejemplo.

Y ahora piensa una cosa más, supón que el profesor o el examinador decide cambiar las condiciones de ese problema que hay que demostrar para quitando esta condición. Entonces, lo primero que haríamos sería probar para 1 y ver que no es cierta, con lo que ya podríamos dar respuesta puesto que al menos no se cumple para un caso; el problema sería mucho más fácil de resolver.

 Consideremos algo más: ¿se puede hacer al revés, se puede primero hacer la hipótesis para “n”, etc., y después, al final del problema, probar lo que pasa para . Sí se puede, pero si resultara que no se cumple para 1, hemos trabajado de más, si hubiéramos empezado por probar para 1 nos hubiéramos ahorrado el desarrollo.

Saludos.

[robotxd]

gracias por la información, leeré esos documentos... hay algo que me quedo dando vueltas y es:

¿Hay acuerdo general en que la acepción 1, es cuando hay "se está casi seguro" de que lo que se suponer debe ser cierto.
en la 4, es cuando tengo algunos indicios de que puede ser verdad pero no estoy tan seguro.
en la 2 cuando se que algo no existe.?

al suponer que abc es un triangulo blablabla, estamos seguros que no existe, ahi se usaría la acepción 2, pero igualmente se "da por sentado" (acepción 1), pero al parecer no se puede dar por sentado algo que no estamos seguros ... resultado:contradicción.
¿que opinan sobre esto, otra inexactitud de la rae al separar 2 acepciones parecidas (1 y 2)? o ¿hay algo que entiendo mal?

saludos

[Carlos Ivorra]

al suponer que abc es un triangulo blablabla, estamos seguros que no existe,

¿Por qué no existe? Si estamos suponiendo un triángulo cuyas bisectrices no se cortan en un mismo punto, para llegar a un absurdo, ciertamente no existe, pero si suponemos un triángulo rectángulo del que conocemos los catetos y queremos la hipotenusa, ¿por qué no va a existir?

ahi se usaría la acepción 2, pero igualmente se "da por sentado" (acepción 1), pero al parecer no se puede dar por sentado algo que no estamos seguros ... resultado:contradicción.

Lo que tratamos de explicarte es que el "suponer" de un matemático no se corresponde con ninguna de las acepciones de la RAE, pues es un suponer "neutro", sin ninguna connotación sobre la veracidad o falsedad de lo supuesto.

¿que opinan sobre esto, otra inexactitud de la rae al separar 2 acepciones parecidas (1 y 2)? o ¿hay algo que entiendo mal?

No hay ninguna inexactitud en la RAE. Mi opinión es que la definición de la RAE es como tiene que ser, y describe correctamente los usos que se da en castellano al verbo "suponer", y los matices que establece entre sus distintas acepciones son pertinentes.

Pero, como te estamos diciendo, todo intento de entender lo que dicen los matemáticos buscando en el diccionario te va a llevar necesariamente a equívocos y más equívocos. Para entender lo que quieren decir los matemáticos cuando razonan debes estudiar lógica, no el diccionario.

[robotxd]

al suponer que abc es un triangulo blablabla, estamos seguros que no existe,

¿Por qué no existe? Si estamos suponiendo un triángulo cuyas bisectrices no se cortan en un mismo punto, para llegar a un absurdo, ciertamente no existe, pero si suponemos un triángulo rectángulo del que conocemos los catetos y queremos la hipotenusa, ¿por qué no va a existir?

ahi se usaría la acepción 2, pero igualmente se "da por sentado" (acepción 1), pero al parecer no se puede dar por sentado algo que no estamos seguros ... resultado:contradicción.

Lo que tratamos de explicarte es que el "suponer" de un matemático no se corresponde con ninguna de las acepciones de la RAE, pues es un suponer "neutro", sin ninguna connotación sobre la veracidad o falsedad de lo supuesto.

¿que opinan sobre esto, otra inexactitud de la rae al separar 2 acepciones parecidas (1 y 2)? o ¿hay algo que entiendo mal?

No hay ninguna inexactitud en la RAE. Mi opinión es que la definición de la RAE es como tiene que ser, y describe correctamente los usos que se da en castellano al verbo "suponer", y los matices que establece entre sus distintas acepciones son pertinentes.

Pero, como te estamos diciendo, todo intento de entender lo que dicen los matemáticos buscando en el diccionario te va a llevar necesariamente a equívocos y más equívocos. Para entender lo que quieren decir los matemáticos cuando razonan debes estudiar lógica, no el diccionario.

Es que había entendido que para la implicación p->q, hay que ponerse en en el caso de que p es verdad para concluir algo. (eso no es dar por sentado, porque no tenemos ningun grado de certeza... ¿es correcto esto?) y eso va de la mano con suponer la existencia de un triangulo abc equilátero que cumpla con blablabla para demostrar que la altura coincide con la bisectriz... por ende si alguna definición se adecuara debiera ser la misma para ambos casos... en ambos casos no tomamos parte de ninguna certeza en si existe o no tal triangulo, por lo que ninguna definición se adecuaría. ¿está bien esto?

Lo otro ya es mas filosófico me parece... eso de que exista o no, ya que existe en el plano matemático pero que haya uno exacto en la realidad me parece mas complicado.

Aún tengo que leer el discurso del método xD
saludos

[Carlos Ivorra]

Es que había entendido que para la implicación p->q, hay que ponerse en en el caso de que p es verdad para concluir algo. (eso no es dar por sentado, porque no tenemos ningun grado de certeza... ¿es correcto esto?)

No creo que la pregunta tenga sentido en toda su generalidad. Si partes de la hipótesis de que existe un número par mayor que dos que no es diferencia de dos primos, no tenemos ningún grado de certeza de si eso es cierto o no, lo que no impide sacar conclusiones de esa hipótesis que sean matemáticamente correctas.

Ahora bien, cuando dices "Supongamos que T es un triángulo equilátero", no tiene sentido preguntarse si la hipótesis es verdadera o falsa. Hay triángulos equiláteros y al suponer que T es uno de ellos simplemente estás determinando el significado de T. La hipótesis es trivialmente cierta.

y eso va de la mano con suponer la existencia de un triangulo abc equilátero que cumpla con blablabla para demostrar que la altura coincide con la bisectriz... por ende si alguna definición se adecuara...

Tú lo has dicho, si alguna definición se adecuara, pero es que ninguna se va a adecuar, por más vueltas que le des.

debiera ser la misma para ambos casos... en ambos casos no tomamos parte de ninguna certeza en si existe o no tal triangulo, por lo que ninguna definición se adecuaría. ¿está bien esto?

No creo. Aunque el razonamiento matemático no depende del grado de certeza que podamos atribuir a cada hipótesis que hacemos, el caso es que hay hipótesis que formulamos sabiendo que son trivialmente ciertas (como "supongamos que T es un triángulo equilátero"), otras que suponemos sabiendo que son falsas (y eso es lo que queremos demostrar) y otras que suponemos sin saber si pueden darse o no. Pero estas distinciones psicológicas no afectan en nada al razonamiento matemático, que opera con las mismas reglas sin que la verdad o falsedad de la hipótesis afecte en nada.

Lo otro ya es mas filosófico me parece... eso de que exista o no, ya que existe en el plano matemático pero que haya uno exacto en la realidad me parece mas complicado.

Cierto, pero para hacer matemáticas sólo necesitas la noción matemática de existencia, según la cual existen triángulos con todos sus ángulos agudos, pero no existen triángulos con todos sus ángulos rectos (siempre en el contexto de la geometría euclídea, claro). El hecho de que esos triángulos tengan una existencia en un sentido fuerte de la palabra es, como bien dices, un problema filosófico, pero irrelevante a la hora de hacer matemáticas.

Aún tengo que leer el discurso del método xD
saludos

Es una lectura muy interesante y recomendable, sin duda, pero no creo que te ayude a entender las matemáticas. Insisto en que para ello deberías leer libros de lógica.

[feriva]

Hola, robotxd. Cuando las definiciones del DRAE son técnicas aparece delante de las acepciones la abreviatura mat.. Fíjate que en el caso de la palabra suponer ninguna de las entradas lleva esa abreviatura, no son definiciones técnicas.
 En este enlace tienes un diccionario técnico de matemáticas si quieres consultarlo para lo que sea; siempre será mejor, aunque no quiere decir que las definiciones vayan a ser siempre perfectas:


 http://es.scribd.com/doc/25932358/Diccionario-Ilustrado-de-Conceptos-Matematicos

Saludos.

[robotxd]

lo que dije: Para demostrar la implicación p->q, hay que ponerse en en el caso de que p es verdad para concluir algo. ¿estaba bien o no?, porque sino debo estarme confundiendo.
edit: debo haber entendido mal lo que quisiste decir, por que creo que argentinator había dicho que si era así

sobre la hipótesis del numero par mayor que 2 que no sea diferencia de números primos, ¿al no saber si es cierta igualmente pueden sacarse conclusiones equivocadas?

Por ultimo, el asumir que p es verdad, ¿se parece a alguna acepción de suponer?... puesto que parece que fuera la acepeción 1, pero también un poco la 2, ya que puede que p sea falso... ¿me podrían aclarar eso por favor?
edit: carlos ivorra ya me había explicado eso en los primeros post que el creia que las definiciones de la palabra suponer eran excluyentes (ninguna es caso particular de otra), ¿estan todos de acuerdo en que las definiciones de la rae para la palabra suponer sean excluyentes?
gracias

saludos

[feriva]

sobre la hipótesis del numero par mayor que 2 que no sea diferencia de números primos, ¿al no saber si es cierta igualmente pueden sacarse conclusiones equivocadas?

Ya lo creo que sí, uno pude haber sacado la conclusión de que todo número par mayor que 2 se puede expresar como suma o diferencia de dos primos a través de una demostración -o sacar la conclusión contraria- y después darse cuenta de que esa demostración está mal hecha y que, por tanto, no asegura ni una cosa ni la otra (te lo digo por experiencia  )

[robotxd]

Me refería a que a partir de una premisa falsa (que pensamos que era verdadera) se puede concluir algo verdadero?? esto por que según la tabla de verdad siempre que se parta de una premisa falsa, la proposición p->q será verdadera.

Lo otro era saber mas sus opiniones sobre esas definiciones que ninguna se adecua al contexto matemático, es posible inventar una acepción(es) que se adecue(n)... ¿o creen que es imposible?

saludos

[argentinator]

Lo importante no es tanto la verdad de las premisas, sino lo "correcto" de los razonamientos.

Para que un razonamiento sea correcto, su tabla de verdad tiene que ser una tautología.

La tabla de verdad de la implicación te muestra que ahí "falta algo".

En realidad el razonamiento clásico (Modus Ponens) viene en esta forma:



Eso se lee "Si p, entonces q".

Podrás verificar que la tabla de verdad de esa fórmula lógica contiene solamente "V"s.

Pero cuando uno estudia la implicación en forma "aislada", nada asegura que p sea verdadero.

Si p fuera falsa, automáticamente es verdadera, sin importar si es verdadera o no.

Acá la cuestión es que, en un razonamiento, vos querés deducir la verdad de q a partir de conocer la verdad de p.

En una implicación , si p es falsa, no podés asegurar nada sobre la verdad de q,
porque fijate que en la tabla de verdad, es V y es V.
O sea, la implicación se Verdadera sin importar que q sea verdadera o falsa.

Por lo tanto, es claro que no se puede deducir de ahí que q sea verdadera.

En cambio, si p es verdadera y si es verdadera, la única posibilidad en la tabla de verdad de es que q también sea verdadera.

Es por eso que el razonamiento Modus Ponens arranca tomando p como verdadera.

[Carlos Ivorra]

Lo otro era saber mas sus opiniones sobre esas definiciones que ninguna se adecua al contexto matemático, es posible inventar una acepción(es) que se adecue(n)... ¿o creen que es imposible?

Aquí tienes el María Moliner:

1 tr. Considerar como existente cierta cosa, circunstancia, etc., que es base o punto de arranque para un razonamiento o consideración. Se usa mucho en gerundio y en segunda persona de imperativo: "Suponiendo que haya salido a las cinco, antes de las ocho puede estar aquí. Supón que haya salido a las cinco; pues antes de las ocho puede estar aquí". Es el verbo usado en lenguaje matemático: "Supongamos que el ángulo en O es igual al ángulo en P". *Hipótesis. *Pensar que ocurre cierta cosa aunque falten datos para tener la certeza de ella: "Supongo que pensará venir, porque, si no, me hubiera avisado". Creer, figurarse, presumir. Se emplea mucho para ponderar algo que se dice a continuación: "Ya supondrás, no puedes suponer, ya puedes suponer...". Que es de suponer. Creer por conjeturas que una cosa o una persona tiene cierta magnitud, edad, antigüedad, etc.: "Se le suponen dos mil años de antigüedad. Le supongo unos cincuenta años". *Atribuir, calcular. (quizá por influencia de "figurarse") Se emplea frecuentemente en lenguaje familiar con un pron. reflex.: "Me supongo que ya estará aquí. Suponte que no te he dicho nada".
   2 *Implicar o *significar una cosa otra que se expresa: "Su nuevo destino supone el traslado de toda la familia a Madrid". Muy frecuentemente, equivale a "costar": "Tener asistenta supone 60.000 pesetas al mes". Suele llevar un complemento de persona: "Eso no me supone ninguna molestia. La enfermedad le ha supuesto un gasto considerable". Significar: tener una cosa más o menos *importancia: "Tres kilómetros más o menos no suponen nada yendo en coche. 200.000 pesetas suponen mucho para él". intr. Aplicado a personas, tener más o menos importancia o significación en cierto sitio: "Su padre supone mucho en el ministerio".
   3 tr. Ser cierta cosa motivo fundado para suponer otra que se expresa: "Esa indiferencia supone que no lo necesita mucho". *Demostrar, *indicar.
   Es un suponer. Frase informal o popular con que se aclara que algo que se acaba de decir es sólo una suposición aproximada. Vamos a suponer.
   Que es de suponer. Expresión pospuesta a un nombre, con el significado de *natural o presumible: "Se cayó al agua con el susto que es de suponer".
   Ser de suponer cierta cosa. Ser *probable o lógica: "Es de suponer que ya le habrán avisado".
   Vamos a suponer. 1 Se emplea para enunciar un cálculo aproximado que se sienta como hipótesis. 2 Pospuesto al enunciado de una cosa, se emplea como "es un suponer".

Pero, insisto, puedes recorrer todos los diccionarios del mundo y no aprenderás en ellos nada que te sea de provecho para entender las matemáticas. Cuanto más te fijes en las definiciones de los diccionarios, más incomprensibles, ambiguas y contradictorias te resultarán las matemáticas, porque los diccionarios reflejan la ambigüedad y las contradicciones propias del lenguaje natural y tú tiendes a ver erróneamente en los defectos del lenguaje defectos de la matemática. Si quieres entender lo que hacen los matemáticos tendrás que entender la lógica que emplean estudiando lógica, no diccionarios.

Te lo destaco: o cambias de planteamiento o jamás entenderás las matemáticas. Estás intentando apagar un fuego usando gasolina en vez de agua. Cuanto más te empeñes en "apagarlo" más te quemarás.

[feriva]

Lo otro era saber mas sus opiniones sobre esas definiciones que ninguna se adecua al contexto matemático, es posible inventar una acepción(es) que se adecue(n)... ¿o creen que es imposible?

saludos

Es que yo creo que las entiendes bien; lógicamente, como a todos nos pasa, encuentras puntos oscuros, encuentras que se podría matizar más, pero mi consejo es que no des demasiadas vueltas a las definiciones, déjalas estar y, cuando aparezcan en problemas prácticos, ya sabrás cómo interpretarlas; y, si no entiendes algos, preguntas aquí en el foro o al profesor.
 De todas formas, como no soy matemático, dejo esta opinión supeditada a lo estimen los expertos; pero yo creo que no deberías preocuparte en exceso, de verdad.

Saludos.

[robotxd]

Entiendo perfectamente, pero que opinan de esto: Es imposible definir la palabra suponer en matemáticas, porque se trata de definir un uso en matemáticas y por lo tanto usar palabras le quitan precisión.
¿es acertado como conclusión?

saludos

[Carlos Ivorra]

Entiendo perfectamente, pero que opinan de esto: Es imposible definir la palabra suponer en matemáticas, porque se trata de definir un uso en matemáticas y por lo tanto usar palabras le quitan precisión.
¿es acertado como conclusión?

Sí, me parece bastante razonable. Si estudias lógica, te convencerás de que el uso de las palabras del lenguaje natural que usan los matemáticos sirve para referirse a operaciones lógicas rigurosamente definidas y que no dejan margen para interpretaciones divergentes. Es en la lógica donde encontrarás el significado exacto de las palabras que usan los matemáticos, no "palabra por palabra", sino globalmente.

[Tachikomaia]

Hola, tengo unas dudas que se me vienen a la mente siempre porque soy obsesivo compulsivo (con tratamiento)

¿Existe esa terminología en las ciencias psicológicas serias, o son palabrejas freudianas?

A lo mejor no necesites tratamiento alguno.

Me la he pasado días enteros tratando de resolver algún ejercicio o entender un teorema.
Entonces, o bien necesito "tratamiento", o bien necesito que me salga el ejercicio, jeje.

Budha dice: Cuando uno tiene un deseo, para que el deseo cese hay que dejar de "desear".
Pero también uno puede "cumplir el deseo" y así también hacer que el deseo "cese".

No hay que dejar que otros jueguen con la mente de uno.
A menos que tengas un problema físico, estrictamente neurológico, me parece que sería interesante restarle importancia a ese tipo de "diagnósticos" de la mente.

Pienso muy parecido que tú en este aspecto, aunque tenía miedo de hacer pensar a robotxd, de hecho él mismo aclaró que debe evitar tener dudas / pensar ciertas cosas. Suerte robotxd, no sé qué más decirte.

[robotxd]

Hola de nuevo, olvide algo... ¿es posible decir que alguna acepción de suponer se "aproxima" (porque ya sabemos que ninguna se adecua) a algún uso en matemática?

fue pensando en el caso que alguien me hiciera esa pregunta a mi xD

saludos

[feriva]

Hola de nuevo, olvide algo... ¿es posible decir que alguna acepción de suponer se "aproxima" (porque ya sabemos que ninguna se adecua) a algún uso en matemática?

fue pensando en el caso que alguien me hiciera esa pregunta a mi xD

saludos

Si en la 4ª acepción nos quedamos sólo con lo primero que dice, "conjeturar", está bien, lo que nunca puede ser sinónimo de suponer es calcular; creo que es muy desacertado. Y si buscas en el diccionario el significado de "conjeturar", la definición está bien, curiosamente ahí no dice calcular. Así que lo que más se aproxima es eso, conjeturar, que es un tipo de suposición.

 En cuanto a la primera, lo de "dar por sentado" es muy fuerte, pero, bueno, se puede aproximar con esos reparos que ya han quedado expuestos por aquí.

Saludos.

[robotxd]

Para complementar, lo dicho por feriva, releyendo el tema, encontré que también la acpeción 4 se puede aproximar según dijo carlos ivorra.

Supuestos por reducción al absurdo.

Éstos se aproximan a la acepción (2) del diccionario. Se trata de suponer algo con la convicción de que es falso, y precisamente para poner en evidencia su falsedad. Es otra técnica de demostración matemática totalmente rigurosa y exacta: para demostrar que una afirmación es falsa, puedes suponer que es cierta y razonar hasta llegar a algo claramente imposible. Hecho esto, podemos afirmar (como un hecho probado) la negación de lo supuesto.

Bueno en realidad no era la idea empezar a analizar cuales acepciones se aproximan a las matemáticas, era para saber si se podían asociar "informalmente" ideas matemáticas a alguna definición, pero veo que es así, un ejemplo claro son las demostraciones en que se usan todas esas palabras del lenguaje.

saludos