Topologías relativas

[juanot]

Hola amigos, necesitaría una ayuda para responder estas preguntas ya que me cuesta entender estos conceptos:
Considerar en con la distancia usual el conjunto , responder:

a) En la topología relativa al conjunto B=(0; 2), ¿es una sucesión de Cauchy?

b) Indique los conjuntos A°, Fr(A), Cl(A).

La verdad estoy un poco perdido, Gracias por adelantado!!!

[argentinator]

La sucesión 1/n es convergente en R, por lo tanto es de Cauchy, y entonces en (0, 2) sigue siendo de Cauchy (si escribís la condición de Cauchy, te vas a dar cuenta que lo que valía en R, no cambia nada en (0, 2) para 1/n).

El inciso (b) supongo que se refiere a calcular fronteras y demás en R.
No sé si pide en R ó en (0, 2), pero yo te respondo para R.

Si x es un punto interior de A, entonces x pertenece a A, y además hay una bola centrada en x contenida en A, digamos B(x, r).
Esto, aplicado al conjunto A, nos dice que los puntos interiores tienen que ser de la forma x = 1/n, necesariamente.
Si 1/n fuese punto interior de A, entonces B(1/n, r) estaría contenido en A, para algún r.
En particular, esto vale para todo radio más pequeño que ese supuesto r hallado.

Si r es bastante pequeño, siempre hay puntos de R que no están en A. (Verificarlo).
Por lo tanto, x = 1/n no puede ser punto interiore de A.

Luego el interior de A es vacío.

Para la clausura de A, basta darse cuenta que si un punto x está en Cl(A), entonces para todo bola centrada en x, B(x, r), la intersección con A es no vacía.
Sin embargo, esto no ocurre para los valores de x < 0 o x > 1 (basta tomar r = x/2, en el primer caso, y r = (x-1)/2 en el 2do caso).
Si 0 <  x <  1, y x no está en A, entonces existe un n tal que 1/(n+1) < x < 1/n.

Tomando r como la distancia mínima de x a esos dos valores 1/(n+1) y 1/n, obtenemos una bola cuya intersecciòn con A es vacía.

Por lo tanto, los únicos posibles elementos en Cl(A) son los mismos elementos de A (que siempre están en A), y el punto x = 0.
Es fácil verificar que 0 está en Cl(A), ya que 1/n tiende a 0.

Para la Fr(A), hay varias fórmulas que la calculan.
En este caso, ya que tenemos calculado Int(A) y Cl(A), conviene usar la fórmula:

Fr(A) = Cl(A) \ Int(A) = (A U {0}) - {} = A U {0} = {0; 1, 1/2, 1/3, ...}

Saludos

[juanot]

Muchas gracias argentinator, voy a ir analizando por partes y cualquier cosa te vuelvo a molestar con alguna consulta, por lo pronto lo de Cauchy, la clausura y el interior de B ya lo entendi.
Un abrazo!

[juanot]

Hola Argentinator, te hago una consulta acerca del ultimo parrafo (sobre la Fr):
Fr(A) = Cl(A) \ Int(A) = (A U {0}) - {} = A U {0} = {0; 1, 1/2, 1/3, ...}

entre Cl(A) y Int (A) deberia estar el signo en lugar de esa barra?
dentro de las llaves vacias, deberia ir ?

Gracias!!

[argentinator]

Uhhh, disculpá, es que hay veces que me canso de usar Latex, y escribo en modo de texto.

Esto sirve de moraleja para mostrar que sin latex no se entiende nada.

Hay dos fórmulas para la frontera (al menos):



donde denota el complemento.

Ocurre sin embargo que, en este caso:

,

porque el único punto de clausura de A que no está en A es el 0.

Y sí, las llaves {} son el conjunto vacío .

Sorry

[juanot]

Muchas gracias!
Un abrazo!