Ángulo entre vectores

[luchoferronir]

Hola, tengo una duda sobre el tema "Vectores".

En general para un par de vectores vector y de se define como "ángulo" entre dichos vectores al único número real que verifica simultáneamente:

i)

ii)

(Notando que tal existe, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz)


Ahora bien: ¿Es suficiente decir solamente esto? ¿Sería incorrecto plantear los casos particulares en los que los vectores pertenecen a y y ver que efectivamente el ángulo que forman es el que sugiere esta definición?

¿O es que esta definición de "ángulo" a priori no tendría absolutamente nada que ver con la definición intuitiva que manejamos previamente? (Aunque fortuitamente a la postre termina coincidiendo).

Gracias.

[el_manco]

Hola

Ahora bien: ¿Es suficiente decir solamente esto? ¿Sería incorrecto plantear los casos particulares en los que los vectores pertenecen a y y ver que efectivamente el ángulo que forman es el que sugiere esta definición?

¿O es que esta definición de "ángulo" a priori no tendría absolutamente nada que ver con la definición intuitiva que manejamos previamente? (Aunque fortuitamente a la postre termina coincidiendo).

Esa definición de ángulo si es coherente con la definición intuitiva y tiene sentido que te plantees en y comprobar que coincide con el uso clásico que se hace de los ángulos. Si uno quiere ser riguroso al cien por cien, eso si, hay que establecer previamente exactamenta con que definición de ángulo se va a comparar la dada mediante el producto escalar.

Por otra parte, la ventaja de la definición mediante el producto escalar, es que te permite extender la noción de ángulo en cualquier espacio vectorial donde podamos definir un producto escalar (p.ej. un espacio de matrices, de polinomios, de funciones,...)

Saludos.

[pepito]

Es muy bueno que te preguntes eso, luchoferronir, porque esta cuestión del "ángulo" es una de esas pequeñas licencias que se toman tradicionalmente. Se lo define como y se pasa automáticamente a trabajar con ángulos entre vectores de espacios vectoriales genéricos con producto interno... pero nunca vi un curso en el que se pruebe (ni se sugiera una prueba como ejercicio) de que en y , el resultado de ese cálculo es lo que uno conocía por ángulo antes de dar esa definición, que es lo que daría sentido al nombre que lleva. Fijate que en es muy fácil:



Claro, como te dice el manco, antes de hacer todo esto, uno tiene que establecer con precisión qué es lo que entiende por ángulo entre vectores, si no . Pero creo que acá se entiende lo que estoy haciendo: estoy usando las nociones trigonométricas. Si es un vector de de norma que forma un ángulo con el eje positivo*, entonces sus coordenadas cartesianas son , por definición (trigonométrica) de seno y coseno. Y si es un vector de de norma que forma un ángulo con el eje positivo, de forma que el ángulo entre y es , entonces sus coordenadas cartesianas son .

En se puede demostrarlo razonando de esa forma, pero por supuesto, es más complicado. Me tomó toda la mañana del día que me propuse hacerlo (hace unos pocos meses). Si querés decime y otro día subo las indicaciones para probarlo.

---

*(ángulo en el sentido trigonométrico, o sea, que la longitud de la porción de circunferencia de radio 1 centrada en el origen, que va desde la intersección de esta circunferencia con el eje positivo, en sentido antihorario, hasta la intersección de esta circunferencia con el vector (modificado: en general esa intersección podría no existir; para ser más precisos, debería decir "la intersección de esta circunferencia con la semirrecta que induce el vector "), es )

Por otra parte, la ventaja de la definición mediante el producto escalar, es que te permite extender la noción de ángulo en cualquier espacio vectorial donde podamos definir un producto escalar (p.ej. un espacio de matrices, de polinomios, de funciones,...)

Claro, pero en los cursos iniciales en los que se suele enseñar esto, para evitar confundir a los novatos que concurren, me parece que lo más kosher sería primero señalar como observación la prueba que estoy exponiendo acá (agregando la parte que falta para ) y después introducir la noción generalizada de ángulo entre vectores. Digo, porque a mí me pasó de encontrar que, compañeros bastante avanzados en la carrera, hacen el cálculo , les da 0, y entonces dibujan los vectores y perpendiculares (en el sentido geométrico de la palabra). Y si uno les pregunta si saben por qué eso es así, responden "porque el ángulo se define así". A mí me parece que a largo plazo esto es grave, porque no aprenden a pensar. El día de mañana, cuando quieran hacer una demostración sin ninguna ayuda previa, van a encararla con ese preconcepto, de que una de las posibilidades que da la matemática es la de hacer "magia", definiendo lo que a uno le conviene para eludir lo que no sabe demostrar (por ejemplo, "defino como tal y tal cosa...").

[argentinator]

La cuestión tiene muchas sutilezas dando vueltas.

Por ejemplo, ¿qué es la geometría euclidiana n-dimensional?
¿Se define por axiomas, o se toma directamente como la geometría de ?

La geometría 2-dimensional y 3-dimensional se puede dar vía los axiomas de Euclides (en su versión mejorada por Hilbert), y ahí se puede definir la noción de "ángulo" con total rigor, a través del concepto de "rotación", que es un movimiento rígido que deja fijo un punto (el centro de la rotación).

En esas geometrías se pueden establecer sistemas de coordendadas, convirtiendo el 2-plano y el 3-espacio en los conocidos espacios vectoriales y .

___________

Desde otro punto de vista, se puede pensar que los espacios y son modelos (ejemplos, casos particulares) que satisfacen los axiomas de la geometría euclidiana plana y espacial respectivamente.

__________

Como sea, los movimientos rígidos se corresponden con transformaciones afines que preservan distancias, es decir, transformaciones de la forma T.L, donde L es una transformación lineal con determinante 1 ó -1 (una transformación ortogonal) y T es una traslación.
______________

Ahora bien, al irnos a , podemos todavía hablar de movimientos rígidos de la misma forma, diciendo que M es un movimiento rígido si es la composición de una traslación T (o sea T(v) = v + a, para algún vector fijo "a"), y una transformación ortogonal O (o sea, tal que det(O) = 1 ó -1).

Supongamos ahora que nos creemos que en el plano entendemos lo que es un ángulo .

Sean ahora dos vectores cualesquiera , no paralelos.
En tal caso generan un plano .
En ese plano existen dos direcciones mutuamente perpendiculares , que serían vectores de norma 1.
Podemos pensar que tiene la dirección de .
En cambio no sabemos en qué dirección apunta.

Ahora lo que podemos hacer es "mirar este plano como si fuera ".
En efecto, el ángulo entre y en ese plano es el famoso ángulo que viene de la fórmula del producto interno citada por luchoferronir.

Sin embargo, vemos que no hay nada extraño ahí, porque podemos transformar el plano en el plano (es decir, el plano generado por los vectores canónicos ) mediante una transformación ortogonal.

Por supuesto, hay que probar que tal transformación ortogonal existe, pero el hecho es que eso es cierto.
Dicha transformación, llamémosla O, converva distancias, y también conserva productos internos, por lo tanto el valor obtenido para los vectores transformados es el mismo.

Sin embargo, en el plano ése valor sí que nos creemos que es el ángulo entre ambos vectores .

____________

Esta es quizás una manera de convencerse de que el ángulo es "el mismo" que el que teníamos en el plano .

Y no creo que haga falta marearse en , como le ha ocurrido a pepito.

______________

La cuestión es si el ángulo en es, a pesar de todo, el mismo ángulo "intuitivo" que siempre manejamos en la escuela secundaria.

Se puede demostrar que en el plano, las transformaciones ortogonales que dejan fijo el origen (0, 0) son las de la forma:



Estas son los únicos movimientos rígidos que dejan fijo el origen, por lo tanto son rotaciones (por definición de rotación en la geometría plana).

Se sabe que, dados tres puntos no alineados en el plano hay un único movimiento rígido que deja fijo el punto y que transforma la recta en la recta , y que deja el punto en el semiplano .
Esto se llama rotación.
Corresponde a transformaciones ortogonales en el plano con determinante 1.

El ángulo entre dos vectores planos se puede definir entonces como el único número real tal que .

Ese valor de es el que puede tomarse como definición del ángulo entre los vectores y .

Y se ve que sirve tanto en un contexto axiomático como en el contexto de .

__________________

Esa definición de ángulo mediante un movimiento rígido que lleva un vector en el otro, da el mismo valor de que la fórmula del producto interno, y entonces se ve que todo encaja bien.

La gran duda que puede quedar aquí es si "confiar" en las funciones trascendentes .

Como se ve, acá hay un grave peligro de circularidad, porque signifca "coseno del ángulo ",
y yo he definido el ángulo como aquel valor de que proviene de la matriz que escribí arriba, que contiene ...

En realidad se puede definir directamente como una función trascendente, usando la serie de Taylor, y lo mismo para .

Si bien esto evita la circularidad, se ve ahora que es difícil entender la relación entre el "ángulo intuitivo" y las sencillas relaciones trigonométricas que se usan para definir en un triángulo rectángulo.

En tal caso, hay todavía una manera de arreglar este inconveniente, mediante un método de aproximaciones sucesivas, el cual, como adivinarán, ya me puse a esciribirlo y lo he citado otras veces en el foro, que es éste:

Taller de límites - Sección 6 - Spoiler de Noción de Ángulo en el Plano.

Para evitar ese camino, se puede dar un rodeo mayor, mediante los axiomas de la geometría y la definición de rotación en ese contexto, pero hay que caminar un largo trecho demostrando que existe un sistema de números reales que se puede definir en toda recta euclidiana.

Los ángulos se definen como intersecciones de dos semiplanos, y la "medida" de ese ángulo se pone en correspondencia con los números reales, mediante una construcción teórica, que ya ni recuerdo, pero que pueden consultar en el libro de Puig Adam.

[el_manco]

En se puede demostrarlo razonando de esa forma, pero por supuesto, es más complicado. Me tomó toda la mañana del día que me propuse hacerlo (hace unos pocos meses). Si querés decime y otro día subo las indicaciones para probarlo.

Como sugiere argentinator, o de manera análoga, lo más cómodo para el caso de es considerar una base ortonormal donde el plano que generen los dos vectores cuyo ángulo calculamos sea el mismo que el plano que generan los dos primeros vectores de la base. Eso traslada el problema de nuevo al plano.

Claro, pero en los cursos iniciales en los que se suele enseñar esto, para evitar confundir a los novatos que concurren, me parece que lo más kosher sería primero señalar como observación la prueba que estoy exponiendo acá (agregando la parte que falta para ) y después introducir la noción generalizada de ángulo entre vectores. Digo, porque a mí me pasó de encontrar que, compañeros bastante avanzados en la carrera, hacen el cálculo , les da 0, y entonces dibujan los vectores y perpendiculares (en el sentido geométrico de la palabra). Y si uno les pregunta si saben por qué eso es así, responden "porque el ángulo se define así". A mí me parece que a largo plazo esto es grave, porque no aprenden a pensar. El día de mañana, cuando quieran hacer una demostración sin ninguna ayuda previa, van a encararla con ese preconcepto, de que una de las posibilidades que da la matemática es la de hacer "magia", definiendo lo que a uno le conviene para eludir lo que no sabe demostrar (por ejemplo, "defino como tal y tal cosa...").

Es que es así al menos como yo lo estudié; en secundaria (en el instituto no en la universidad) se definía el producto escalar de dos vectores como y a partir de ahí y con la noción intuitiva de ángulo se probaba la fórmula del producto escalar en función de los módulos y coseno del ángulo.

Cuando digo que la definición inversa de ángulo es ventajosa no me refiero a que deba de estudiarse antes, sino simplemente a que permite extender la noción de ángulo a espacios vectoriales euclideos abstractos. De hecho yo imparto clases de Álgebra donde introduzco esa definición de ángulo: pero la motivación qued doy, mi punto de partida es el comportamiento del producto escalar en el plano que les supongo conocido (lo estudian en secuandaria) y la idea que trato de trasnmitirle, es que con esa definición de ángulo extendemos la idea inutitiva del mismo a espacios donde nuestra intuición es nula.

Saludos.

[pepito]

Es que es así al menos como yo lo estudié; en secundaria (en el instituto no en la universidad) se definía el producto escalar de dos vectores como y a partir de ahí y con la noción intuitiva de ángulo se probaba la fórmula del producto escalar en función de los módulos y coseno del ángulo.

Cuando digo que la definición inversa de ángulo es ventajosa no me refiero a que deba de estudiarse antes, sino simplemente a que permite extender la noción de ángulo a espacios vectoriales euclideos abstractos. De hecho yo imparto clases de Álgebra donde introduzco esa definición de ángulo: pero la motivación qued doy, mi punto de partida es el comportamiento del producto escalar en el plano que les supongo conocido (lo estudian en secuandaria) y la idea que trato de trasnmitirle, es que con esa definición de ángulo extendemos la idea inutitiva del mismo a espacios donde nuestra intuición es nula.

Si es así, no tengo nada que objetar. Lo que pasa es que en mi caso, y el de todos los compañeros que tuve, se salteó esa primera parte. Lo que se hizo es, nunca hablar de vectores hasta llegar a la universidad, y una vez ahí, ni bien se introduce ese concepto, se define el ángulo entre ellos como . Evidencia de que la confusión que esto genera no es sólo una percepción mía, es la pregunta original de luchoferronir, que no es precisamente "¿cómo se hace para demostrar esto?".

Como sugiere argentinator, o de manera análoga, lo más cómodo para el caso de es considerar una base ortonormal donde el plano que generen los dos vectores cuyo ángulo calculamos sea el mismo que el plano que generan los dos primeros vectores de la base. Eso traslada el problema de nuevo al plano.

La prueba de la que hablaba es en definitiva, eso. Pero con el debido cuidado de no hacer trampa con la palabra ortonormal. No digo que vos lo estés haciendo, porque no sé cómo escribirías la prueba en detalle, pero, dados los vectores si uno considera una base ortonormal con respecto al producto interno (siempre canónico), le falta probar que el ángulo entre dos vectores cualesquiera de esos 3, es siempre 90º (digo ángulo en el sentido geométrico, como en mi respuesta anterior, no el resultado de hacer , que obviamente va a dar 90º por cómo los definí). Sin eso, uno no va a poder despues decir que, si y , entonces se puede escribir en esa base , donde es el ángulo (geométrico) entre y .

Y si uno considera una base de vectores de norma 1, tales que el ángulo (geométrico) entre 2 cualesquiera de ellos es siempre 90º, le falta probar que es ortonormal con respecto al producto interno. Si no, aunque después pueda escribir a como le conviene, no va a poder operar con el producto interno como necesita para concluir.

Con lo que dice argentinator no sé si no estará pasando algo parecido en las demostraciones que menciona sobre que las rotaciones preservan ángulos. Que preservan ángulos en el sentido algebraico (), seguro que se demuestra. Pero que preservan los ángulos que uno ya conoce en (como los definí en el mensaje anterior), partiendo de la definición que él da de rotación, no sé si se podrá sin recurrir a un argumento como el que voy a dar ahora (remarco por tercera vez: no sé).

Así que hagamos esto: yo escribo la demostración, y ustedes díganme si les parece que estoy haciendo cosas innecesarias.

Por voy a denotar el ángulo entre los vectores y como está definido en mi mensaje anterior, para diferenciarlo de . Ahí lo definí en el plano. Para lo que se hace es considerar el plano que determinan los vectores y y medir el ángulo sobre ese plano.

Teo: Si , entonces

Dem:

1) , o sea que , y desde luego que , o sea que me voy a restingir a los vectores de norma 1.

2) Quiero ver que si entonces .

Si , es inmediato, porque los versores que forman un ángulo (geométrico) de con son los que están en el plano , y ya sé que su producto interno con da 0. Entonces supongo que .

Escribo , donde es el ángulo que forma con el eje positivo la proyección de sobre el plano (que sé que no es ) y es el ángulo que forma con el plano (lo que se podría definir como el ángulo que forma con su proyección sobre el plano ). Sea . Entonces y



Por otro lado, como , entonces no puede estar simultaneamente en el plano y en el plano . Supongo que no está en el plano . Entonces escribo , donde es el ángulo que forma con el eje positivo la proyección de sobre el plano , y es el ángulo que forma con el plano . Sea , entonces y (es la misma cuenta).

Ahora, está en el plano generado por y , y en el generado por y . Esos planos son distintos porque no está en el plano . La intersección de esos dos planos es la recta generada por . Si fuera , entonces ambos vectores estarían en esa intersección, y sería , y ya sé que ambas igualdades son falsas. O sea que es LI*, y por lo tanto, genera al plano de vectores que forman un ángulo con . Entonces, si es un versor tal que , escribo , con , y es .

Y después, si no está en el plano , es exactamente igual.

3) El caso general:

Sea . Si y son LD, es fácil. Si son LI, sea el versor en el plano generado por y que forma un ángulo con y apunta para el lado "que sirve", de forma que uno pueda escribir (se entiende). Entonces .

*Aclaración: este argumento suena un poco oscuro... pero sigo usando sólo nociones geométricas. Por LI quiero decir que los versores no son paralelos. Y cuando digo que generan al plano, estoy usando la regla del paralelogramo, no estoy afirmando que el conjunto de vectores que forman un ángulo de con (agegándole en ) sea un subespacio vectorial de (aunque en realidad, eso sería bastante fácil de probar).

Modifiqué el orden en el que se exponen unos pocos argumentos, para mayor claridad y prolijidad.

[argentinator]

*(ángulo en el sentido trigonométrico, o sea, que la longitud de la porción de circunferencia de radio 1 centrada en el origen, que va desde la intersección de esta circunferencia con el eje positivo, en sentido antihorario, hasta la intersección de esta circunferencia con el vector , es )

¿Y es fácil definir la longitud de la circunferencia sin recurrir a nociones previas de "ángulo", o de funciones trigonométricas?

Y si se usan funciones trigonométricas, ¿se las puede definir sin acudir a una noción previa de ángulo?
(Respuesta: sí, por series de Taylor, pero aún así, no me parece sencillo relacionar el coseno de un ángulo en sentido trigonométrico con el coseno definido por la serie de Taylor).

Acá está involucrado el concepto de "área", que involucra una medida de Lebesgue restringida a un plano...
O bien invocar las series de Taylor de las funciones coseno y seno.

Lo ideal sería llegar por un camino que no involucre una base teórica demasiado compleja.
Se puede definir ángulo sin invocar el concepto de área.

En el siguiente post voy a decir cómo me parece que estas cosas se pueden especificar en forma clara y sin muchas vueltas.
Me basaré en construcciones geométricas de algunos libros de Geometría Euclidiana, el que más tengo fresco es Puig Adam, y entonces de paso se podrá dar una versión de ángulo puramente en sentido geométrico, y probar que coincide con la forma algebraica (como producto interno), y sin usar otros elementos que no sean estos dos: geometría y álgebra.

[pepito]

*(ángulo en el sentido trigonométrico, o sea, que la longitud de la porción de circunferencia de radio 1 centrada en el origen, que va desde la intersección de esta circunferencia con el eje positivo, en sentido antihorario, hasta la intersección de esta circunferencia con el vector , es )

¿Y es fácil definir la longitud de la circunferencia sin recurrir a nociones previas de "ángulo", o de funciones trigonométricas?

Y si se usan funciones trigonométricas, ¿se las puede definir sin acudir a una noción previa de ángulo?
(Respuesta: sí, por series de Taylor, pero aún así, no me parece sencillo relacionar el coseno de un ángulo en sentido trigonométrico con el coseno definido por la serie de Taylor).

La verdad, ni idea. Decía lo que yo entiendo por ángulo (que es, la lectura que uno hace del transportador). Supongo que por longitud de la porción de circunferencia podría entenderse el supremo de las longitudes de las poligonales inscritas en dicha porción. Pero igual, cualquier definición geométrica más elemental que des de ángulo, se puede reemplazar en el párrafo que estás citando para después considerar como en mi demostración (o sea, ese no es en absoluto el fondo de la cuestión).

[argentinator]

Yo creo que el fondo de la cuestión es no definir ángulo como un número, sino como un objeto geométrico, es decir, un conjunto.

Eso le da sentido geométrico.

Se puede definir ángulo entre dos rectas de un plano como la intersección de dos semiplanos concretos entre ellas.
Eso define "ángulo" como un conjunto en el plano.

Luego hay que asociar un número (valor angular) a ese sector del plano.

Pero por ejemplo se puede definir ángulo recto a partir de allí, y tratar de verificar que coincide con la noción de ortogonal en sentido algebraico.

Para definir ángulo recto se necesita la noción geométrica de "movimiento rígido", que básicamente es una transformación del plano que conserva rectas, distancias y relaciones de incidencia entre rectas, con lo cual se deduce que conservará semirrectas, segmentos, semiplanos, y por lo tanto conservará ángulos en el sentido que indiqué.

Los movimientos rígidos del plano que conservan un punto fijo, se llaman "rotaciones" del plano en cuestión.

Dadas dos rectas en el plano, se puede demostrar que existe un movimiento rígido que lleva una en la otra.
Más aún, dadas dos rectas L, L' que se cortan en O, habrá una rotación centrada en O que lleve L en L'.

Esta rotación es única (salvo por el sentido, que puede ser positivo o negativo).

Considerando el haz de rectas que pasan por O, y fijando una de ellas (el eje X), por cada recta L por O hay una única rotación R que transforma el eje X en L.

Si O denota ahora el vector (0, 0), la clave está en demostrar que las transformaciones lineales ortogonales son rotaciones (fácil, pues conservan rectas y relaciones de incidencia, dejando fijo el origen), y que toda rotaicón es una transformación ortogonal.

Esto puede hacerse tomando una dirección unitaria de cada recta por O, y observando que si , entonces la matriz ortogonal



transforma el vector dirección del eje en , y por lo tanto transforma en , y deja fijo el origen.
Luego es una rotacion.

Además, por unicidad de las rotaciones, no puede haber otra.

Esa es la idea.
Fijate que en ningún momento definí "ángulo" como un numerito.

Hice todo geométricamente y algebraicamente.
El "numerito" o "valor angular" sería acá algo anecdótico, no aparece.

Sin embargo, sí que está definida la cantidad , así como también , porque esos números no son más que dados arriba, pero no hace falta acá decir qué son las funciones coseno y seno, ni cuánto es el valor del ángulo .

Se puede hablar de un "ángulo" virtual tal que es la rotación que lleva el eje en alguna recta por O.

Entonces, el "valor angular" no sería un número, sino una de esas rectas , o bien una de las transformaciones ortogonales que, para tener unicidad, deberíamos tomar con determinante +1.

La perpendicularidad requiere unas definiciones adicionales, creo.

Estoy escribiendo detalles...

[pepito]

Yo creo que el fondo de la cuestión es no definir ángulo como un número, sino como un objeto geométrico, es decir, un conjunto.

Eso le da sentido geométrico.

Se puede definir ángulo entre dos rectas de un plano como la intersección de dos semiplanos concretos entre ellas.
Eso define "ángulo" como un conjunto en el plano.

Puede ser, pero ¿no te estás yendo por las ramas? Al fin y al cabo, indiscutiblemente es un número. Y lo que estamos trando de probar es la igualdad de ese número con otro. No sé si hará falta llegar hasta los axiomas más remotos y reconstruir toda la geometría para eso. Yo mencioné la definición de ángulo basada en el largo de la porción de circunferencia, en respuesta a lo que señalaba el manco, que es, que ciertamente la pregunta no tiene sentido si uno no especifica qué es lo que entiende por ángulo si no . Con la definición que dí, uno puede dar definiciones geométricas de seno y coseno que, por más rudimentarias que puedan ser, son lo único que hace falta en este caso.

Por "demostración" yo entiendo "argumento satisfactorio", y confío dogmáticamente en que todos podemos ponernos de acuerdo en cuáles argumentos son satisfactorios y cuáles no.

[argentinator]

Bueno, yo puedo definir seno y coseno como el valor de las proyecciones en los ejes x é y de un vector unitario dado.

El "numerito" que hay que ver que es igual en ambos enfoques es el "coseno" del ángulo, y no el ángulo.

No hace falta usar áreas para obtener esos números, sino sólo las nociones algebraicas y/o geométricas de norma, proyección, producto interno.

Por otro lado, en mi post anterior no me fui hasta los axiomas de la geometría, sino que me quedé en y ahí me puse a "hacer geometría", lo cual implica definir qué es ser perpendicular por ejemplo.

Para mí, el ángulo entre dos rectas no es el área de la porción de circunferencia que encierran, sino las rectas mismas por sí solas.
Para poder relacionar ambas rectas, y decir que determinan un ángulo, se invocan movimientos rígidos (centrados en 0), y resulta que estos famosos movimientos rígidos centrados en 0 no son otra cosa que matrices ortogonales.

Pienso que se puede evitar hablar del "numerito" a la hora de demostrar que el ángulo geométrico es lo mismo que el ángulo algebraico, trabajando sólo con lo que vendría a ser .

Yo podría decir que usar el área de un sector circular es "exagerado", porque involucra usar teoría de la medida.
De una forma u otra, hay vueltas complicadas que dar.

Lo que yo propongo sólo requiere definiciones y construcciones que están directamente encima de la estructura algebraica de .
En particular, la definición de ángulo geométrico se puede dar así, y por eso no quiero usar medidas, y evitar en lo posible invocar el hecho de que el coseno y el seno son funciones analíticas con su serie de Taylor.

[Topolino]

Hola

Por medio de sus argumentos me doy cuenta de la dificultad de definir ángulo. Ahora veo por que un profesor canadiense que imparte clases en una universidad australiana y que expone sus ideas en "youtube," prefiere el uso de "quadrance and spread" en vez de angulo y distancia. Si les interesa se llama Wildberger y pueden buscar en sus series de "MathFoundations, Rational Trigonometry and Algebraic Topology."

Saludos
Topolino

[feriva]

De la misma forma que en física se dice que el frío no existe sino que es simplemente falta de calor, el ángulo no es más que la falta de paralelismo; llamándose paralelismo crítico o perpendicularidad a la falta de paralelismo límite.

 

[pepito]

En realidad yo hablaba de perímetro, no de área. Pero si querés usar el área, me parece que sería exactamente igual en complejidad. Alcanza con definir medida exterior, y definir el ángulo como el doble de la medida exterior de la porción de circunferencia unitaria implicada (se entiende). No creo que haga falta saber lo que es un conjunto medible, ni una -álgebra ni nada de eso ni siquiera (o sea, no es que uno necesite invocar a la teoría de la medida realmente).

Pero igual, a lo que apuntaba antes (respuesta #7) es que en la demostración, lo único que estoy usando son las propiedades más elementales que me consta que tienen que cumplir los ángulos (geométricos) y su seno y coseno, sea como sea que uno los defina. Por eso simplemente mencioné una forma de la que creo que se los podría definir geométricamente (no es que alguna vez lo haya hecho tan en detalle) y me puse a trabajar de una.

[argentinator]

En realidad yo hablaba de perímetro, no de área.

Hola.

Es cierto que dijiste "perímetro", disculpame, es que te contesté medio dormido, era tarde. 

Creo que la cuestión es, claro está, en cuál es "la" definición geométrica de ángulo en el/un plano.

Decís que el modo en que se define la noción geométrica de ángulo no es el fondo de la cuestión, y yo creo que sí, porque eso es lo que estamos discutiendo.

Si definís que el ángulo es el perimetro de la porción de circunferencia unitaria encerrada entre los dos vectores unitarios dados, ¿es fácil después demostrar que ese valor de corresponde a ?

Planteo el uso de movimientos rígidos porque ellos corresponden a las típicas congruencias con las que se trabaja en geometría elemental.
También son elementales las nociones de recta y semiplano, y ellas son suficientes para definir el ángulo como un objeto geométrico.

Por ejemplo, la perpendicularidad no se define como "haber ángulo ", sino mediante congruencias entre los ángulos (como conjuntos geométricos) que quedan a cada uno de los lados o semiplanos que quedan tras trazar la perpendicular...

______________

Pero bueno, es cierto que eso es otra cuestión.

[luchoferronir]

Hola,

He leído (muy por encima) todos los comentarios. Creo haber entendido bien cómo viene la mano con ésto (me refiero en específico a la pregunta que hice):

Si trabajamos con vectores de la cosa es bastante sencilla. Si nos basamos en la definición intuitiva de ángulo es fácil ver que .

En la cosa se complica ligeramente pero puede probarse que nuevamente la igualdad citada se cumple.

Eso nos induce a tratar de generalizar ésto para a través de la definición de ángulo (que a partir de ahora deja de ser intuitiva). Apoyándose esta definición en la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, la cual garantiza la existencia de un solo ángulo.

En definitiva, creo que haría bien a la enseñanza de este tema probar primero los casos particulares del plano y el espacio tridimensional, para luego sí proponer la "definición" de ángulo entre vectores de .

Los profesores de mi Facultad definen el ángulo como les he dicho, pero sin mencionar ni particularizar los casos de y , los cuales, como se ve, ayudan a la intuición y a entender la definición de ángulo que se propone (viendo estos casos se ve que no es algo caído del cielo).

Si he entendido mal, agradecería cualquier corrección.

Agradezco la ayuda que me brindaron.

Saludos.

[pepito]

Decís que el modo en que se define la noción geométrica de ángulo no es el fondo de la cuestión, y yo creo que sí, porque eso es lo que estamos discutiendo.

Si definís que el ángulo es el perimetro de la porción de circunferencia unitaria encerrada entre los dos vectores unitarios dados, ¿es fácil después demostrar que ese valor de corresponde a ?

Lo que pasa es que estás mezclando dos cosas diferentes. Hagamos un diagrama:

Definiciones ---------> Propiedades básicas --------->

Por propiedades básicas me refiero a todas esas propiedades de los ángulos que uno espera que se deduzcan de las definiciones, sean cuales sean esas definiciones, por ejemplo:

- Que dados los vectores coplanares , si el ángulo que forman y es y el ángulo que forman y es , entonces el ángulo que forman y es , o , dependiendo del caso.

-

- , o más en general,

-

...y un no tan largo etcétera.

Vos estás intentando incluir la flecha naranja en la demostración. Lo que yo digo es que lo único que estamos intentando transitar acá es la flecha azúl. Lo que estoy diciendo es: dada una definición ("correcta") geométrica de ángulo, seno y coseno, sea cual sea, sé que de ella se pueden deducir todas las propiedades que ya conozco. Y lo sé, porque si no fuera así, entonces la definición no sería "correcta", y la modificaría para que así sea (¡esto es lo más importante!). Y basado en esas propiedades, pretendo demostrar que .

Si con la definición geométrica que yo doy de ángulo es fácil o difícil transitar la flecha naranja, me es indistinto. Eso no es lo que estoy tratando de hacer acá. Fijate que el caso de nadie me lo discutió, a pesar de que aplica sin demostrar (entre otras) la última de las propiedades básicas que listé. Digo, en realidad no sé si vos me estarás discutiendo también ése, pero pongámonos de acuerdo en que esa demostración califica como un "argumento satisfactorio", sin necesidad de involucrarse con cuál sea la definición geométrica de ángulo que uno elija y cómo se transita la flecha naranja a partir de ella. Satisfactorio en el sentido de que, viendo eso, uno puede afirmar con total certeza que siempre que haga el cálculo el resultado que va a obtener va a ser el ángulo entre los vectores y .

Por ejemplo, la perpendicularidad no se define como "haber ángulo ", sino mediante congruencias entre los ángulos (como conjuntos geométricos) que quedan a cada uno de los lados o semiplanos que quedan tras trazar la perpendicular...

Exactamente, pero vos y yo sabemos perfectamente bien que esas dos cosas tienen que ser equivalentes, y por lo tanto, si no resultaran serlo, se harían todas las modificaciones necesarias en las definiciones, para que lo sean.

Es que lo que hay acá en el fondo son dos visiones distintas de la matemática. Mi visión es que las flechas azules se recorren de izquierda a derecha, y las naranjas de derecha a izquierda. Y vos me das a entender que tu opinión es que las flechas naranjas también se recorren de izquierda a derecha, y que las propiedades básicas que de ellas resultan, son una grata sorpresa.

@luchoferronir:

Exacto. En y , se demuestra que hablar de ángulo entre los vectores y es lo mismo que hablar de . En general, en , o en cualquier otro espacio vectorial con producto interno, no hay noción de ángulo a priori. Pero el cálculo siempre se puede realizar. Entonces uno decide entender por "ángulo" a esa cantidad.

[argentinator]

No se trata de cómo veo la matemática, sino de que no tengo claro qué estamos entendiendo por noción intuitiva de ángulo.
Busco un punto de partida razonable para tu flecha azul.

Lo que vos estás poniendo son más o menos unos axiomas de "ángulo" geometríco, pero no me convenzo porque no veo que sea tan simple dar con alguna definición que llegue a cumplir esas propiedades que vos decís.

Mi problema no es con las direcciones que les pusiste a las flechas, sino que en realidad me parece ver una circularidad en cualquier enfoque que se tome, o sea, veo que las flechas dan vueltas en círculo, y eso es lo que me molesta.

No logro hallar un punto de partida que sea no circular.

Ya que, supongamos que trabajamos como vos decís, sólo con la flecha azul, y que podés ir y venir por la flecha naranja, definiendo lo que haga falta para que funcione.

Lo que yo me pregunto es si existe una tal definición lo bastante razonable, que no dé vueltas en círculos.
Me interesa que haya al menos una flecha naranja.
Si puedo asegurar eso, quizás me quedo tranquilo, y seguramente se podrá probar la equivalencia entre las dos nociones distintas de ángulo.

Dándole vueltas al asunto, no veo cómo despegarme del producto interno o de los axiomas de la geometría.
Cualquier intento de acortar el camino entre ambas cosas, me conduce a alguna circularidad (por ejemplo, definir perpendicularidad antes que ángulo, o definir distancia antes que el teorema de pitágoras, el cual se usa luego para medir distancias, etc., etc.).

¿De verdad es tan fácil esto, como aparentan tus cuentas?

No me convenzo.

[pepito]

Bueno, en realidad mis cuentas no son tan fáciles. De hecho, hasta ahora, no tengo indicios de que alguien las haya leido siquiera (me gustaría que me confirmen si están bien o mal, pero bueno, toda la participación acá es voluntaria).

Pero entonces estamos de acuerdo en que lo que vos planteás es ajeno a lo que se está tratando acá (porque viene antes). Mi demostración en sí, no requiere ningún conocimiento sobre cómo se consigue la flecha naranja. Todos los argumentos son de la forma "si el ángulo entre tal cosa y tal otra es , sea lo que sea que uno entienda por ángulo, aplicando las propiedades que uno espera que cumpla cualquier cosa a la que uno decida llamar ángulo, se puede deducir que va a pasar tal cosa..." y así hasta concluir que entonces, el ángulo entre y , sea lo que sea que uno entienda por ángulo, tiene que ser , sea lo que sea que uno entienda por (pero claro, siempre y cuando sea la función inversa de una función que cumple todo lo que uno espera que cumpla la función , sea como sea que la defina). Y no veo ninguna circularidad en eso.

Después, para buscar definiciones no circulares para ángulos, distancias, y todo eso, que resulten cumplir lo que queremos que cumplan, eso se puede hacer a parte. Pero no necesito saber nada acerca de cómo se hace eso si ya sé que sólo voy a aceptar definiciones que resulten en lo que quiero. Como decís, alcanzaría con saber que existe alguna flecha naranja. No es que me conste, pero lo doy por sabido; acá, y en prácticamente toda la matemática que hago. Ni siquiera sé cómo se define un conjunto, pero sé perfectamente todo lo que uno espera de tal definición, y con eso me alcanza para resolver los interrogantes que surgen acerca de los conjuntos, sean lo que sean.

Pero lo más importante: incluso si lo supiera, no me pondría a reformular toda la teoría desde las definiciones más elementales cada vez que quiero resolver un ejercicio.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Una mini-aclaración: lo que dije en el mensaje anterior sobre las flechas naranjas creo que no está muy claro. Obviamente que se las recorre de izquierda a derecha; lo que quise decir es que se las piensa de derecha a izquierda. O sea, con las flechas azules, uno parte de lo que sabe, y averigua qué se concluye. Con las naranjas, uno ya decidió de antemano qué quiere concluir, y se fija cómo llegar hasta ahí. Así es como para mí se hace la matemática de verdad, que no es exactamente lo que uno lee en los libros. No porque los libros estén mal escritos, sino porque en matemática es usual que el orden coherente para la exposición de las ideas no sea el orden en el que tiene sentido pensarlas.

[argentinator]

Una mini-aclaración: lo que dije en el mensaje anterior sobre las flechas naranjas creo que no está muy claro. Obviamente que se las recorre de izquierda a derecha; lo que quise decir es que se las piensa de derecha a izquierda. O sea, con las flechas azules, uno parte de lo que sabe, y averigua qué se concluye. Con las naranjas, uno ya decidió de antemano qué quiere concluir, y se fija cómo llegar hasta ahí. Así es como para mí se hace la matemática de verdad, que no es exactamente lo que uno lee en los libros. No porque los libros estén mal escritos, sino porque en matemática es usual que el orden coherente para la exposición de las ideas no sea el orden en el que tiene sentido pensarlas.

Esto lo entiendo perfectamente y estoy de acuerdo que se trabaja así.

Pero en alguna parte, lo que está a la izquierda de tu flecha naranja tiene que estar.
Y justamente de lo que no me convenzo es de eso.

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Leí tus cuentas, esas en que ponés la suma de los ángulos, pero ahí estás suponiendo que existen claramente las coordenadas polares, para lo cual te basás en la norma de un vector.
Pero la norma del vector en así como en es prácticamente lo mismo que tener el producto interno, debido a la identidad polar.
Se pueden definir la una en términos del otro y viceversa.

O sea que al tomar un vector unitario, es lo mismo que dividir por la "norma" del vector en esa dirección, y entonces te aparece el producto interno.

Cuando hablás de ángulos y que los sumás, etc., estás poniendo cosenos y senos, lo cual pueden definirse, como vos decís, vía trigonometría, proyectando en los ejes, o simplemente con el cambio de coordenadas.

Pero al hacer esto, se está haciendo lo mismo que tomar el producto interno, o las matrices de rotación en el plano, etc.

Entonces no logro ver dónde está lo realmente geométrico y lo realmente algebraico, dónde es que se separan como nociones distintas, distinguibles.

El asumir la noción de distancia en simplifica todo, y las cuentas dan enseguida.

Por ejemplo, uno se para en un plano cualquiera en generado por vectores .
Enseguida uno toma (o supone) que son unitarios, pues divide por su norma.
Ahora se puede tomar un vector ortogonal a () debido al proceso de Gram-Schmidt.

Se define ahí la circunferencia unitaria, y se puede otra vez hacer lo que vos hiciste para ángulos en ese plano, entre vectores cualesquiera de ese plano.

Continuando el proceso de Gram-Schmidt se obtiene una base ortonormal, luego existe una matriz ortogonal que la transforma en la base canónica.
Esto transforma el plano dado en el plano XY usual, y la geometría en ambos planos coincide, porque una tranformación ortogonal tiene la virtud de que transforma rectas en rectas, conserva distancias, conserva semiplanos, y en particular conserva "sectores angulares".

Al hacer esto, está conservando los "ángulos geométricos", y resulta también que se conserva el producto interno y las distancias.

Entonces todo encaja, en todos los planos de se tiene la "misma" geometría.

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¿Es válido partir de que hay una noción de distancia dada por decreto en ?

Lo que vos hiciste con los cosenos y los senos, es análogo me parece a lo que hice (o esbocé) sobre las matrices ortogonales de 2x2 unos posts atrás, porque esos números de seno y coseno, que no dejaste bien definidos, son los que aparecen en una matriz ortogonal, que produce la rotación de ángulo .

Estamos dando vueltas en lo mismo.