Ahhh, gracias, tiene razón...
Entonces, rectifico...
Sea
un espacio normado separable. Esto es, existe un subconjunto numerable que es denso en
.
Llamemos
a dicho conjunto.
Consideremos la esfera unitaria:
.
Supongamos que
no es separable, esto es, para todo
numerable, se tiene que
no es denso en
; es decir, existe un abierto
en
tal que
, de manera que,
.
Consideremos
, es claro que
, y
es abierto en
(con respecto a la topología relativa).
Como
es denso en
, se tiene que existe
, con lo que
y es numerable.
Ahora bien, como
no es separable existe
abierto tal que
.
Por otro lado, como
es abierto en
existe
tal que
(esto me lo asegura la topología relativa... ).
Como
se tiene que
, lo cual no es posible, ya que en caso de que
sea un racional, entonces por la definición de
, existe
. En caso de que
sea irracional, por la densidad de
existe
y
, y por tanto razonando igual que el caso anterior, tenemos que
.
