No comprendo el teorema de Fubini

[Hum-Sah]

Mi duda es en cierto grado sencilla:
El punto es que por mas que leo el enunciado del teorema de Fubini no puedo comprender qué significa, incluso ya resolví varios ejercicios pero no sé qué es lo que significa el teorema.

Me gustaría de ser posible un modo intuitivo de verlo o vamos : geométrico
El libro que estoy leyendo es Spivak: Calculus on manifolds.

Muchas gracias.

[argentinator]

Supongamos que vas a integrar la función constante "1" sobre un conjunto A en el plano.

Entonces el resultado de la integral doble no es más que el área de A.

Sin embargo, el teorema de Fubini te permite calcular esa área mediante dos integrales iteradas, es decir, ya no en el plano, sino dos integrales en la recta.

Se convierte un problema 2-dimensional en 2 problemas 1-dimensionales.

Una integral doble no tendía por qué coincidir con una integral iterada, y sin embargo lo hacen.
Eso es una suerte, y facilita mucho cálculos.

Si no, todas las integrales dobles tendrían que calcularse directamente a partir de la definición, usando un límite complicado y estudiando las particiones de Riemann en el conjunto A del plano.