Una forma bonita de resolver el problema es demostrar la siguiente cadena de implicaciones
1)
es continua
2)
es cerrado
3)
no es denso
4)
es acotada (como función) en alguna bola abierta centrada en
La difícil es 3) implica 4). Para ella demuestra el siguiente lema: si
es una bola abierta centrada en cero en la cual
no es acotada, entonces
.
Utilizando este lema, puedes demostrar que 3) implica 4). Si
no es denso, existe una bola
tal que
. Luego basta ver que
es acotada en
. Si no fuese así, por el lema anterior
, en particular como
, existirá
tal que
. Luego
contradiciendo que esta intersección es vacía.
