Ejemplo de polinomio primo en R, pero no en C

[Laura_mt]

Necesito encontrar un ejemplo de un polinomio f tal que es primo en [x,y], pero en [x,y] no es primo.

Había pensado en que podría tratarse de y usando el resultado:

es primof irreducible.

Es claro que f es irreducible en [x,y], pero no en [x,y] pues se puede factorizar como
 


¿Sería válido este ejemplo y ese razonamiento?

¡Muchas gracias!

[argentinator]

No sé mucho de esto, pero veo que lo último que escribiste no es una factorización, sino una suma de dos polinomios factorizados de 1 variable cada uno.

Creería que hay que buscar un enfoque distinto.

¿Por qué no funcionarían los ejemplos conocidos de una sola variable x?

[Carlos Ivorra]

Es claro que f es irreducible en [x,y], pero no en [x,y] pues se puede factorizar como
 


¿Sería válido este ejemplo y ese razonamiento?

No. Eso que has obtenido no es una factorización, porque tiene una suma en medio. El polinomio que propones es primo en los dos anillos.

Te sirve o, si quieres que aparezcan explícitamente las dos indeterminadas, también .

[Laura_mt]

Mi idea era buscar un polinomio de 2 variables que tuviera una factorización en los complejos, pero estuve buscando posibles ejemplos y el único que pensé que fuera posible fue el que escribí. Aunque ahora que veo el que me ha dicho sí que cumple lo que quería.

-Es irreducible en [x,y], pues no tiene ninguna raíz real.

-Es reducible en [x,y], pues se puede factorizar como , obteniendo dos soluciones en el campo de los complejos ( y ).

De nuevo muchas gracias. Sin lugar a dudas, hoy ha sido el día que más álgebra aprendí, así que gracias por ello.

[Carlos Ivorra]

-Es irreducible en [x,y], pues no tiene ninguna raíz real.

Ojo. El polinomio se anula en el par de números reales , pero eso no significa que no sea irreducible. Es irreducible porque si tratas de plantear una descomposición en dos factores de grado 1 verás que es imposible.

[Laura_mt]

Ups! no había tenido en cuenta eso. Me había dejado llevar por encontrar posibles raíces (no sé por qué razón no pensé en la (0,0) que es trivial) y no posibles factorizaciones.
Gracias por la advertencia