Matriz con parámetros y discutir compatibilidad

[Hernan_ER]

Tengo el siguiente problema (la B es la correcta):

El sistema equivale a la matriz ampliada:



Reduciendola obtengo para a distinto de cero:


Pero la unica manera de que el sistema sea compatible (ya sea indeterminado o determinado) es que a sea distinto de 0 y 2 y b distinto de 2. Pero la respuesta correcta indica que a y b son UNICOS!.

Gracias

[feriva]

Hola, Hernan_ER. Estoy algo dormido pero a mí me sale así.

 En primer lugar, para mayor comodidad he dividido por 2 la tercera ecuación. El determinante de la matriz no ampliada se hace cero para

Luego, para ver lo que pasa en la ampliada, he ido sustituyendo cada una de las columnas por la de términos independientes (0,-3,0) y me han salido estos determinantes posibles (digo igualando a cero, como en la otra, para buscar que el sistema sea compatible indeterminado, con el mismo rango y éste menor que 3).







luego para que sea compatible indeterminado . Creo que se refiere a eso, pero ya te digo que estoy muy dormido ahora.

Saludos y buenas noches.

[Hernan_ER]

Mm yo simplemente lo que hago es escalerizar la matriz y luego ver el numero de escalones (rango) discutiendo segun los parametros pero me quedo como ven en el post principal y es correcto, lo he hecho miles de veces y la matriz que ven esta escalerizada para a distinto de cero (ya que tuve que dividir entre a). Me gustaría resolverlo haciendo eso y no usando determinantes. No tengo idea...

Gracias.

[Hernan_ER]

Pongo lo que hice para que se entienda:



Creo que me di cuenta. Escalerize mal en el termino independiente de la ultima fila que habia puesto 0 pero es 3 y ahora concluyo con la siguiente matriz:



Y ahora si, si a=b=2 la segunda de hace cero pero la 3ra fila queda incompatible.

[feriva]

Hola, Hernan.  El análisis es éste:

 Supongamos que "a=2", entonces la matriz pequeña tiene rango dos. Ahora, si existiera la posibilidad de que el rango de la matriz ampliada fuera mayor que 2, o sea, fuera 3, el sistema sería incompatible; es decir, con "a=2", negativo o positivo, el determinante de la matriz ampliada tiene que ser distinto de cero para que se dé la incompatibilidad. Esto no puede ser si a=b=2 (o menos dos) no puede ser rango 3 por las condiciones que te puse anoche.
 En cuanto a lo que dices, sí, normalmente se escalona la matriz, se hallan los rangos y con eso suele bastar en la mayoría de los problemas, pero en éste, anoche, yo no sabía a qué carta quedarme entre las opciones, por eso analicé una por una las condiciones del determinante de la matriz ampliada según la combinación lineal de la columna de términos independientes con las demás (no he repasado las transformaciones que has hecho al escalonar la matriz, después si acaso lo miro).



Saludos.

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La matriz escalonada con un programa de ordenador es ésta

[Carlos Ivorra]

En efecto, me sale que la B es la correcta. Tal vez sería más fácil por Rouché-Frobenius, pero sigo el método de Hernan_ER:



Así, si el sistema es incompatible.

Si y el sistema es compatible determinado.

Si el sitema es compatible indeterminado (y es el único caso, como dice B)

En cualquier otro caso es incompatible (porque la tercera ecuación nos da un valor no nulo para una variable y la segunda nos da que es cero).

[Hernan_ER]

¿Por qué dices que en cualquier otro caso es incompatible? Ahí el rango de la matriz y el de la matriz ampliada es siempre el mismo para b y a distintos de 2, por lo tanto por Rouche-Frobenius no puede ser incompatible.

Has puesto que si b es distinto de 2 entonces es incompatible. Es incompatible si es igual a 2, ¿no?

Gracias Carlos!

[feriva]

¿Por qué dices que en cualquier otro caso es incompatible? Ahí el rango de la matriz y el de la matriz ampliada es siempre el mismo para b y a distintos de 2, por lo tanto por Rouche-Frobenius no puede ser incompatible.

Perdona, Hernán, te había contestado creyendo que la pregunta iba para mí y era para Carlos.

[feriva]

En efecto, me sale que la B es la correcta. Tal vez sería más fácil por Rouché-Frobenius, pero sigo el método de Hernan_ER:



Así, si el sistema es incompatible.

Si y el sistema es compatible determinado.

Hola, Carlos. No, te has despistado, si  ó el determinante de la matriz no ampliada es distinto de cero y en ese caso es determinado. Y en el caso de Si y es  compatible indeterminado al ser los rangos iguales pero menores que 3

Si te digo la verdad yo tengo un lío con este problema, todavía no estoy seguro del todo de cuál es la respuesta, cada vez veo una 

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Efectivamente, había escrito al revés la condición sobre b. Ya la he rectificado. Gracias, Feriva.

Pero con esto ya no estoy de acuerdo:

si  ó el determinante de la matriz no ampliada es distinto de cero

Si el determinante de la matriz no ampliada es cero.

[feriva]

Efectivamente, había escrito al revés la condición sobre b. Ya la he rectificado. Gracias, Feriva.

Pero con esto ya no estoy de acuerdo:

si  ó el determinante de la matriz no ampliada es distinto de cero

Si el determinante de la matriz no ampliada es cero.

Digo "distinto", Carlos (creo que es decir lo mismo, aunque ya tengo tal empanada con el problemita que no sé...)

Ah, sí, que me he equivocado de letras.