Hola Hernán
Fijate que los elementos de la diagonal de
son los mismos que los de
(son cuadradas).
Resulta que eso no es cierto. A mí la intuición me decía lo mismo (¡hasta casi escribo lo mismo que tú!), pero cuando empecé a hacer las cuentas me daba que no. Lo vemos. De paso, se lo aclaramos a
milly.
Sean
y
dos matrices cuadradas
. Por definición de producto de matrices, tenemos que:
donde
denota la fila
de
y
la columna
de
.
O sea,
Análogamente,
. Ahora nos fijamos en las entradas de la diagonal. La entradas
i-ésimas de ambas diagonales serían:
Hay que corroborar que
, es decir,
. Tenemos que:
De la misma manera:
Por lo tanto, hay que comprobar que
. Si expandimos las sumatorias resulta:
Aplicando la propiedad asociativa, se ve claramente la igualdad. Si el argumento no es convincente, se puede hacer por inducción en
.
Saludos
PD. Por lo visto, entrada a entrada no se puede afirmar que
. No tengo ahora tiempo de ver algún ejemplo, pero en las cuentas de este post no hay ningún indicio de que se cumpla esa igualdad. En general, no es cierta.
