Homomorfismos y subgrupos característicos

[john_reuer]

Hola, me gustaría que, por favor, me echaran una mano en estos problemas:

1. Sean y homomorfismos de grupos. Pruebe lo siguiente: si es sobreyectiva, entonces se factoriza a través de si y sólo si , y entonces se factoriza únicamente a través de .

Con este problema, en el recíproco, no sé cómo usar el hecho de que .

2. Sea un subgrupo característico de un grupo . Pruebe que, si y es un subgrupo característico de , entonces es un subgrupo característico de .

[liddokun]

1)

Recíproco como se tiene que



donde es la inclusión y la función cero.

La idea es ver que existe tal que

 ,

la prueba es por construcción.


Sea , entonces por ser sobreyectiva, existe tal que ,

por lo que definamos 

 

dado por

,

primero hay que ver que esta bien definida, puesto que por la sobreyectividad de podría existir talque

Razonalo un poco pero si no se te ocurre  aquí te dejo la prueba.

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Si tenemos que entonces por lo que .

De esto se sigue que por lo que , por lo tanto esta bien definida

Solo falta ver es un homomorfismo de grupos y que es único

Te dejo que  pruebes que es un homomorfismo de grupos y en la unicidad te dejo una ayuda.


Si existe tal que , entonces tenemos que  para ver que , utiliza lo siguiente

como es sobreyectiva se cumple que si entonces




2) Sea un automorfismo de por demostrar que .


Como es caracteristico entonces por lo que se induce un homomorfismo de grupos

dado por el cual es isomorfismo puesto que lo es,


Como es caracteristico entonces y por el teorema de la correspondencia biyectiva obtienes que .

Cualquier duda que tengas solo avisas.

Saludos!!!