Fórmula interesante pero ...

[mente oscura]

Gracias, El_manco.
La verdad es que podría ser un poco más "burro" si me entrenase
La última fórmula es ciertamente incorrecta.
No las simplifico, para que sean todas un poco homogéneas con el sistema de grado 10 que he "fabricado", y se "note".
La fórmula correcta es:



Simplificando resulta:
, que, evidentemente, devuelve para n par un número decimal, y para impar un número entero. Como las condiciones generales son para n>6, nos puede valer. Podría haber puesto (n+1)/2 y valdría igual.

El origen de todo este tema, viene de un estudio exhaustivo (bueno, humildemente exhaustivo ), que estoy haciendo, por entretenimiento, de los polinomios del tipo: (n-1)*(n-2)* ..., para la aproximación de sucesiones, como la que puse en otro "hilo".
Con los coeficientes resultantes me llevé muchas sorpresas y como, creo, soy un poco observador me puse a investigar relaciones entre ellos, encontrando propiedades muy curiosas.
Una de ellas es que al hacer ciertos cocientes, me "respetaba" los número primos (daba resultado entero), aunque también admitía algunos compuestos (quizá demasiados) y ahí estoy "limando" un poco las fórmulas para ver si consigo algo mejor.
Si os interesa un poco "mis locuras" os expondré mis pequeños descubrimientos (me imagino que ya estará investigado, pero no he visto nada en internet).
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

El origen de todo este tema, viene de un estudio exhaustivo (bueno, humildemente exhaustivo ), que estoy haciendo, por entretenimiento, de los polinomios del tipo: (n-1)*(n-2)* ..., para la aproximación de sucesiones, como la que puse en otro "hilo".
Con los coeficientes resultantes me llevé muchas sorpresas y como, creo, soy un poco observador me puse a investigar relaciones entre ellos, encontrando propiedades muy curiosas.
Una de ellas es que al hacer ciertos cocientes, me "respetaba" los número primos (daba resultado entero), aunque también admitía algunos compuestos (quizá demasiados) y ahí estoy "limando" un poco las fórmulas para ver si consigo algo mejor.
Si os interesa un poco "mis locuras" os expondré mis pequeños descubrimientos (me imagino que ya estará investigado, pero no he visto nada en internet).

Los polinomios del tipo aparecen cuando se aplicla el método de interpolación polinómica de diferencias finitas, sobre los puntos . Esto sirve por ejemplo para hallar el polinomio asociado una sucesión polinómica , conocidos los primeros términos. Es decir para resolver problemas como el que planteaste aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,55984.msg222961.html#msg222961

También puedes leer debates sobre ese tema en el foro por aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,6543.0.html

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=21486.0

Saludos.

[mente oscura]

Sí, El_manco, estoy basándome en las diferencias finitas. Seguramente están muy estudiadas, y yo sigo con su estudio, porque me parece muy interesante.
Como no lo tengo demostrado, pero sí muy comprobado, voy a exponer mis modestos "estudios". Lo  he llamado "postulado de rarar"  (que son mis iniciales). De acuerdo, que es a nivel de conjetura, ya que no lo tengo demostrado.
Ahí va¡, no seáis muy "duros" conmigo.




















Algunas de las propiedades son muy evidentes, otras no.
Un cordial saludo.

[mente oscura]

He visto todos los enlaces que me habéis recomendado (y otros), y no he visto referencia a este caso, en particular.
Los resultados parecen "cuadrar". He estado viendo hasta polinomios .
Me gustaría que me dijeseis que os parece: si veis errores o no.

Me ha costado, pero creo haber hallado una fórmula general, que obtiene todos los
Los tendré que escribir con dos subíndices. El primero denota la posición del coeficiente (), según la notación original, de mi planteamiento. El segundo es referente al valor escogido "k".







Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 Si, claro, esas fórmulas son correctas. Se prueban por inducción.

 Si:



 teniendo en cuenta que:



 entonces:







 De donde:



para



Saludos.

[mente oscura]

Muchas gracias El_manco.
Sé que, es posible que, el tema de los números primos no se pueda realizar, pero me entretengo con estos juegos numéricos (me gustan).
Sigo investigando y, tampoco veo mal, si se puede conseguir un subconjunto de números naturales, que pudiese incluir los números primos, aunque tenga algunos "parásitos" .
El problema, que tengo, es el de poder comprobar mis "formulitas", ya que la hoja de cálculo deja de ser fiable para grandes números.
Como este hilo está en matemáticas recreativas, pues aprovecho para entretenernos todos un poco.
He hallado otra fórmula, que conjugada con las anteriores, elimina algunos compuestos. Desconozco si también, en grandes números, me cargo "primos"
Me he permitido integrar una fórmula que he visto (no sé si fue a Carlos Ivorra o El_manco), espero no tener que pagar "derechos"



Es válida para :

Un cordial saludo.

[mente oscura]

Perdón, se me había "colado" un "n" indeseado. Ya he editado la fórmula anterior.
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

Sé que, es posible que, el tema de los números primos no se pueda realizar, pero me entretengo con estos juegos numéricos (me gustan).

Bueno, yo he pretendido probar que no es posible; no al menos con el tipo de crietrio que estás proponiendo. No sé si te ha convencido mi prueba.

Me he permitido integrar una fórmula que he visto (no sé si fue a Carlos Ivorra o El_manco), espero no tener que pagar "derechos"



Es válida para :

 Pero está fórmula es rara. El término:



 se anula para los pares. Con lo cual hay un montón de compuestos que dan resultado entero.

Saludos.

[mente oscura]

Claro, se anula para los pares.
No hay "primos" pares, excepto el dos.
Entonces se busca que dé resultados enteros mayor que 0.
Sí, la prueba que me pusiste, anteriormente, la veo correcta.
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 Por otra parte, por ejemplo evaluada en no da entero.

Saludos.

[mente oscura]

Voy a mirar en qué me he equivocado en la fórmula escrita.
En mi ordenador a 19 me devuelve 1131416,00
Un cordial saludo

[mente oscura]

No sé, a mí me funciona para n=19
Vamos a ver:














Entonces:



Mira a ver si te has equivocado en algún cálculo, o tiro mi ordenador (va a "pedales") .
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 Ya sé lo que pasó. Es que hice un copy-paste (más o menos) de la fórmula y tienes escrito en lugar de . En realidad es culpa mía porque es claro que eso era una errata y que ahí vení el término de grado cuatro.

 Ahora si funciona.

 Da entero en los primos. Por ejemplo en también da entero.

 De todas formas una vez comprobado que siempre va a haber números compuestos donde falle, reconozco que me da cierta pereza ponerme a buscarlos. 

Saludos.

[mente oscura]

Gracias, no me había dado cuenta del error de la fórmula, ya la he editado. No sé porqué no me funciona la "vista previa".
El 915 debería quedar invalidado por las otras fórmulas, pero, aún así, todavía habrá infinitos compuestos. Me conformo con reducirlos; pero sí veo importante que, dentro de ciertos polinomios, "queden" incluidos los números primos. Se podría ver como una condición necesaria, aunque no suficiente.
Las otras fórmulas las encontré, casi por casualidad, pero esta última la he fabricado entera. De ahí que me asalten las dudas de su "bonanza" a grandes números.
Sé que es engorroso, pero gracias al listado de Carlos Ivorra, he podido introducirme más en los "entresijos" de la obtención de coeficientes de polinomios, para "jugar" con ellos.
Recibe un cordial saludo.

[mente oscura]

Perdonad que siga "a la carga" con el tema de los números primos, pero es que me fascina su "comportamiento", y que sea tan difícil "dominarlos".
A partir de una ordenación "conveniente" de los números, he construido una nueva fórmula (la he llamado de "criterio cinco"), que genera un subconjunto de los números naturales que, a partir del 5, incluye todos los números primos.
La mala noticia: también incluye "parásitos" (como siempre ).
La buena noticia: pienso que los tengo "controlados".
La fórmula es la siguiente:



Los órdenes de los "fallos" están perfectamente localizados.

Condicionantes:
- "Fallan" los "n" acabados en 1 ó 8 (a excepción del 1), que coinciden ser múltiplos de 5.
- Cuando se llega al cuadrado de uno de los elementos de este subconjunto, se pueden localizar, mediante fórmulas aritméticas simples, los nuevos órdenes que "fallan".
El orden de estos "cuadrados" se encuentra en :
Por ejemplo:
El 25 estará en el orden:

El 4489 estará en el orden:

También tengo localizadas las sucesiones para la búsqueda de nuevos "parásitos".

Quizá haya hecho un trabajo inútil, pero, os aseguro, que es divertido.
Si a alguien le interesa, seguiré con la exposición del método.
Gracias, de antemano, por "aguantar" a este "pelma".
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 El trabajo no es inutil. En primer lugar porque disfrutas con él, y sin quizá eso sea lo más importante.

 En segundo lugar, porque si de hecho fueses capaz de dar unas fórmulas que inequívocamente determinasen cuando un número es o no primo, el resultado sería de incalculabe valor. Los test de primalidad conocidos no son todo lo eficientes que se desearía.

 Ahora lo que a mi (sólo a mi) me desmotiva un poco es saber que el tipo de criterio que estás usando nunca te va a permitir determinar inequívocamente cuando un número es primo (por las razones ya expuestas).

 En cuanto a tu última aportación no acabo de entender exactamente a que te refieres con los "órdendes" de los fallos.

Saludos.
 

[mente oscura]

Perdona El_manco, sé que no me expreso correctamente en lenguaje matemático. Estoy bastante desentrenado.
A los "órdenes" que me refiero, son el número de orden que ocupa cada elemento en el subconjunto "criterio 5". O sea, valores de "n".
Ejemplo:
n=1 (número de orden 1)
n=2 (número de orden 2) , etc.

Para hacer "a mano" los cálculos es demasiado "engorroso", pero creo que sí puede ser interesante este método para realizar un programa de ordenador que ascendiese sobre los números primos, saltándose los compuestos (que están localizados).
No sé, quizá sea una tontería mía.
Las recurrencias las tengo deducidas, pero me está costando mucho el poder transcribirlas para ser entendibles. Con ayuda, sí veo posible avanzar en este tema, si no tardaré más, pero intentaré seguir sólo. Soy muy "cabezota"
Si os interesa un poco, explicaré cómo he ido sacando las conclusiones.
Recibid un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

Las recurrencias las tengo deducidas, pero me está costando mucho el poder transcribirlas para ser entendibles. Con ayuda, sí veo posible avanzar en este tema, si no tardaré más, pero intentaré seguir sólo. Soy muy "cabezota"
Si os interesa un poco, explicaré cómo he ido sacando las conclusiones.

Me interesaría en principio que resumieses (partiendo de cero) exactamente el método que describes para detectar si un número es o no primo y de ahí listar los primos (y excluir por tanto los compuestos).

Para después las justificaciones del método.

Saludos.

[mente oscura]

Hola.
Partiré desde el principio.
Como no consigo insertar tablas, voy a adjuntar un fichero en hoja de cálculo.
Primero consideré una ordenación de números "conveniente".
En la primera columna los múltiplos de 2.
En la segunda, los múltiplos de 3, sin incluir los pares.
En la tercera, los múltiplos de 5, sin incluir los pares, ni los múltiplos de 3.
En la Cuarta, divido la tercera entre 5, y ya tengo mi subconjunto de números impares (a excepción de los múltiplos de 3), que incluye todos los números primos y "algunos más" (compuestos).
Ví que existía una recurrencia: 4,2,4,2,4,..., con lo que pude hacer mi fórmula. Como tiene dos sucesiones "montadas", tuve que recurrir al factor de anulación correspondiente.
Luego investigué si había alguna relación entre los números compuestos, y si eran fácilmente identificables. Vi que sí.
Pensé que si se hiciese un programa de ordenador, que eliminase los números de orden, correspondientes a compuestos, necesitaría de una identificación del punto, desde dónde empezar la eliminación.
Los números de orden tienen la siguiente relación:
Llamando n al número de orden y , al elemento resultante del subconjunto,

Para i par:

Para i impar:

Otro dato interesante, es que el primer fallo corresponde al primer elemento del subconjunto "al cuadrado". El número de orden=8 es el elemento "25". Hasta ese momento todos los elementos del subconjunto eran "primos". Ahora habría que tener en cuenta los órdenes de los múltiplos de 5, que aparecerán más adelante.
La complicación (no insalvable) surge, porque los múltiplos de 5 tienen dos sucesiones (en general todos los números primos).
Generalizando (comprobado):
- Serán todos los elementos números primos, a partir del número de orden "8", hasta llegar al siguiente "cuadrado".
- A todos los "cuadrados" de los elementos del subconjunto, les corresponde un número de orden par.
- Los elementos a eliminar  (de la primera de las sucesiones) cumplen la ecuación: , siendo:

Para la segunda de las sucesiones de números a eliminar, estoy intentando cómo exponerla.
La recurrencia es fácil, pero me cuesta como expresarla (como si fuese para programarla).

No sé si me estaré explicando bien, o me estoy "enrollando" mucho.
Para empezar, ¿qué os parece?
Si os interesa, sigo.
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 Lo siento, me pierdo.

Ví que existía una recurrencia: 4,2,4,2,4,..., con lo que pude hacer mi fórmula.

 ¿Qué recurrencia? ¿Qué significa 4,2,4,2,...? ¿Qué fórmula? ¿Dónde está esa fórmula?.

Lamando al número de orden y , al elemento resultante del subconjunto,

 ¿Qué subconjunto? ¿Exactamente como se obtiene tal subconjunto? Si por número de orden, te refieres al elemento -simo de un conjunto ordenado, resulta mucho menos confuso expresarlo de la segunda forma.

 ¿Exactamente que entiendes por el "elemento resultantes"? ¿Resultante de hacer qué?.

 Probablemente ya hayas contestado a estas preguntas a tu explicación, pero como ves y pido disculpas por mi torpeza, he entendido poco. 

Saludos.