Fórmula interesante pero ...

[mente oscura]

Hola amigos.
Aquí estoy para entretenernos un poco todos.
Necesito que alguien, con ordenador más potente que el mío, me ayude un poco a desarrollar la siguiente fórmula. Sólo utilizo un hoja de cálculo (normal) y me cuesta saber si me calcula bien en grandes números:




Bueno, y diréis ¿para qué diantres vale esto?
Me he esforzado para calcular una fórmula que nos indique cuando un número es primo. He detectado algunos fallos pero, antes de seguir perfeccionándola, quiero ver si merece la pena.
Funciona así:

La fórmula devuelve un valor entero si "n" es primo y con decimales si no lo es.
Está todavía un poco "cruda".
A ver que os parece, y no me ha engañado mi hoja de cálculo.
En números a partir de n=500, no puedo saber si se cumple en los primos. Ya he expresado que da algunos errores en los no primos (algunos múltiplos de 7, 11, 13, 17, ...)
Un cordial saludo

[Carlos Ivorra]

Te copio tu fórmula tal y como la he introducido en mi ordenador para que puedas comprobar si he cometido algún fallo al copiarla:

(9450 (n - 3)^8 + 264600 (n - 3)^7 + 3698100 (n - 3)^6 + 32250960 (n - 3)^5 + 181953450 (n - 3)^4 + 655414200 (n - 3)^3 + 1443670200 (n - 3)^2 + 17615024 (n - 3) + 907200000)/(362880 n)

A mí me sale que falla en todos los primos menores que 100 (la lista muestra los primos y el valor de la expresión):

7 primo 65243.8813051146

11 primo 980534.939842873

13 primo 2.78426330175689*10^6

17 primo 1.55782223583515*10^7

19 primo 3.22647930882391*10^7

23 primo 1.14473591123725*10^8

29 primo 5.43531551434461*10^8

31 primo 8.53827699360773*10^8

37 primo 2.84675969394426*10^9

41 primo 5.74459881592943*10^9

43 primo 7.96237071957422*10^9

47 primo 1.46658006010396*10^10

53 primo 3.35337925163135*10^10

59 primo 7.02801130086503*10^10

61 primo 8.84802506106386*10^10

67 primo 1.69278143789473*10^11

71 primo 2.52895118507350*10^11

73 primo 3.06554952461787*10^11

79 primo 5.30009584836788*10^11

83 primo 7.46585734847993*10^11

89 primo 1.21191801948628*10^12

97 primo 2.20360948314292*10^12

Si detectas algún error dilo y lo corrijo.

[mente oscura]

Mil perdones:

1761510240(n-3)

Un cordial saludo

[mente oscura]

Perdón, tengo un día tonto.
El denominador es:3628800n

[Carlos Ivorra]

Con los dos cambios, ésta es la lista de números menores de 2000 en los que falla el criterio. Todos son compuestos en los que la expresión es entera (el fallo contrario no se da):

22, 33, 34, 38, 49, 51, 52, 69, 77, 82, 86, 87, 91, 98, 114, 116,
118, 119, 121, 123, 133, 134, 141, 143, 146, 148, 159, 161, 166, 169,
177, 178, 182, 187, 194, 203, 209, 212, 213, 214, 217, 221, 226, 231,
242, 244, 247, 249, 253, 258, 259, 262, 267, 274, 276, 278, 287, 289,
294, 299, 301, 303, 308, 319, 321, 322, 323, 326, 329, 338, 339, 341,
343, 357, 358, 361, 371, 374, 377, 386, 391, 393, 402, 403, 404, 406,
407, 411, 413, 418, 422, 427, 429, 434, 436, 437, 438, 447, 451, 454,
466, 469, 473, 481, 482, 483, 493, 497, 501, 502, 511, 514, 517, 518,
519, 527, 529, 532, 533, 537, 539, 546, 551, 553, 559, 562, 564, 566,
573, 578, 581, 582, 583, 589, 591, 596, 598, 609, 611, 614, 623, 626,
627, 628, 629, 637, 646, 649, 658, 662, 663, 667, 671, 674, 679, 681,
689, 692, 694, 697, 699, 703, 706, 707, 713, 717, 721, 722, 724, 726,
731, 737, 742, 749, 753, 754, 758, 763, 767, 771, 779, 781, 788, 789,
791, 793, 799, 802, 803, 806, 807, 817, 818, 833, 834, 838, 841, 843,
847, 851, 852, 854, 861, 866, 869, 871, 879, 884, 886, 889, 893, 897,
898, 899, 901, 902, 913, 914, 916, 917, 923, 931, 933, 934, 943, 946,
949, 951, 959, 961, 962, 969, 973, 978, 979, 982, 987, 989, 994, 998,
1001, 1003, 1007, 1012, 1014, 1023, 1027, 1037, 1041, 1042, 1043,
1046, 1057, 1058, 1059, 1067, 1073, 1076, 1077, 1078, 1079, 1081,
1094, 1099, 1106, 1108, 1111, 1113, 1121, 1122, 1126, 1127, 1131,
1133, 1138, 1139, 1141, 1142, 1147, 1149, 1154, 1157, 1158, 1159,
1167, 1169, 1172, 1174, 1177, 1183, 1186, 1189, 1199, 1202, 1203,
1204, 1207, 1211, 1219, 1221, 1222, 1234, 1238, 1239, 1241, 1243,
1247, 1253, 1257, 1261, 1266, 1267, 1268, 1271, 1273, 1282, 1286,
1293, 1298, 1302, 1309, 1311, 1313, 1318, 1329, 1331, 1333, 1334,
1337, 1339, 1343, 1346, 1347, 1349, 1351, 1357, 1363, 1364, 1366,
1369, 1378, 1379, 1382, 1383, 1387, 1391, 1393, 1394, 1396, 1397,
1401, 1403, 1411, 1414, 1417, 1419, 1421, 1426, 1428, 1437, 1441,
1442, 1446, 1457, 1462, 1463, 1469, 1473, 1474, 1477, 1478, 1491,
1492, 1501, 1507, 1509, 1513, 1517, 1519, 1522, 1526, 1527, 1529,
1537, 1538, 1541, 1547, 1554, 1556, 1558, 1561, 1563, 1573, 1574,
1577, 1581, 1586, 1588, 1589, 1591, 1599, 1603, 1606, 1617, 1618,
1622, 1631, 1633, 1634, 1639, 1643, 1649, 1651, 1652, 1653, 1654,
1661, 1666, 1671, 1673, 1679, 1681, 1682, 1684, 1687, 1689, 1691,
1698, 1702, 1703, 1707, 1711, 1714, 1716, 1717, 1718, 1727, 1729,
1734, 1739, 1743, 1748, 1751, 1757, 1761, 1762, 1763, 1766, 1769,
1771, 1778, 1779, 1781, 1793, 1797, 1798, 1799, 1807, 1813, 1814,
1817, 1819, 1826, 1829, 1833, 1837, 1841, 1842, 1843, 1844, 1846,
1849, 1851, 1853, 1858, 1859, 1862, 1869, 1874, 1876, 1878, 1883,
1887, 1891, 1894, 1897, 1903, 1906, 1909, 1919, 1921, 1922, 1923,
1927, 1937, 1939, 1941, 1942, 1943, 1954, 1957, 1958, 1959, 1961,
1963, 1967, 1969, 1972, 1977, 1981, 1986, 1991

Puedo ponerte una lista más larga, pero tiene el mismo aspecto.

[feriva]

 Hola, mente oscura. Es un tema que ha salido más de una vez en el foro. Existe una fórmula para dar con muchos primos, ya no recuerdo el hilo en el que alguien la puso, pero en mi opinión -que no vale nada- y en la de muchos matemáticos, cualquier fórmula para hallar primos acabará fallando para algún número. Es por su propia naturaleza, los primos van rompiendo los patrones o secuencias al intercalarse los compuestos; una fórmula para hallar cualquier primo, por grande que sea, tendría que ser infinitamente larga, te pasarías la vida retocándola. Ahora bien, eso no quiere decir que no tenga interés una fórmula con la cual se puedan hallar muchos primos, aunque no sean todos.

 Saludos.  

[mente oscura]

Son mucho fallos ¿no?.
Bueno seguiré trabajándolo, para ver si puedo ajustar más condicionantes.
Lo interesante sería ver si se deja de cumplir para los primos. Si se cumple (como parece) merece la pena seguir, pero si no, es una pérdida de tiempo.
¿Sabes si hay algo sobre este tema, o alguna ecuación parecida)
Gracias y recibe un cordial saludo.

[feriva]

Ésta es la función prima de Smarandache, creo que hasta ahora es la más potente para hallar muchos primos





Saludos y buenas noches.

[mente oscura]

Muchas gracias feriva.
Un cordial saludo.

[mente oscura]

Hola


Para eso, utilizaría mí fórmula (si tuviese un ordenador superpotente, claro):







Un cordial saludo.

[mente oscura]

Ah ¡, se me olvidaba decir que creo que esta fórmula es infalible (e intratable ).
Vale
Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

mente oscura: mil discuplas. Quería citar tu mensaje como he hecho a continuación y por error he borrado parte de él. Lo siento. Me he equivocado. No volverá a ocurrir.

Para eso, utilizaría mí fórmula (si tuviese un ordenador superpotente, claro):







Un cordial saludo.

No entiendo esta fórmula. ¿Quien es ? ¿Exactamente cuáles son los límites del sumatorio?.

Saludos.

[mente oscura]

La base es: cualquiera (2,3,10,e ...).
Límite: hasta dónde se quiera.
Ten en cuenta que es una solución trivial que proviene de (n-1) factorial.
Y la "licencia": , es para que el número 4 no nos falle.
Ya he arreglado la fórmula. No pasa nada, El_manco, ha tenido fácil solución.
Recibe un cordial saludo.

[mente oscura]

Hola a todos.
He estado repasando, porque toda la lista de errores me parecía "mucho". Claro, no me fijé, que al sumar polinomios, alguno de sus "efectos" se disipaban.
Originalmente, no era un polinomio, sino tres. Para hacerlo más "elegante" los sumé y según la rima: "la c...é
Los polinomios iniciales eran:















Se tiene que cumplir "que los números primos reviertan un resultado entero" para las tres fórmulas (por ahora), esa es la hipótesis.
También tiene algunos "fallitos"
He detectado hasta el cien:34,49,77,82,91,98.
Si me echáis una mano, y me buscáis una lista mayor, podría estudiar el origen de los errores (creo).
Las "formulitas" me las he fabricado ayudándome del "excel" y mi "dura" cabeza.
Abusando de vuestra amabilidad: no veo en la "previsualización" si he escrito correctamente las fórmulas en latex (llevo poco tiempo usándolo) ¿hay alguna forma de verlo, antes de "subir" las respuestas?
Es que, luego, tengo que andar editando.

Un cordial saludo.

[Carlos Ivorra]

Hola. Esto es lo que yo he tecleado en mi ordenador. Revisa, si quieres, que no me haya equivocado.

(9450 (n - 3)^8 + 189000 (n - 3)^7 + 1581300 (n - 3)^6 + 7151760 (n - 3)^5 + 18808650 (n - 3)^4 + 28614600 (n - 3)^3 + 23146200 (n - 3)^2 + 7590240 (n - 3))/(3628800 n)

(75600 (n - 3)^7 + 1587600 (n - 3)^6 + 13986000 (n - 3)^5 + 66754800 (n - 3)^4 + 185522400 (n - 3)^3 +  298166400 (n - 3)^2 + 254016000 (n - 3) + 87091200)/(3628800 n)

(529200 (n - 3)^6 + 11113200 (n - 3)^5 + 96390000 (n - 3)^4 + 441277200 (n - 3)^3 + 1122357600 (n - 3)^2 + 1499904000 (n - 3) + 820108800)/(3628800 n)

Todos los primos hasta 2000 cumplen tu criterio, pero los números siguientes también dan enteros pese a no ser primos:

34, 49, 77, 82, 91, 98, 119, 121, 133, 143, 146, 161, 169, 178, 187,
194, 203, 209, 217, 221, 226, 242, 247, 253, 259, 274, 287, 289, 299,
301, 319, 322, 323, 329, 338, 341, 343, 361, 371, 377, 386, 391, 403,
407, 413, 418, 427, 434, 437, 451, 466, 469, 473, 481, 482, 493, 497,
511, 514, 517, 527, 529, 533, 539, 551, 553, 559, 562, 578, 581, 583,
589, 611, 623, 626, 629, 637, 649, 658, 667, 671, 674, 679, 689, 697,
703, 706, 707, 713, 721, 722, 731, 737, 749, 754, 763, 767, 779, 781,
791, 793, 799, 802, 803, 817, 818, 833, 841, 847, 851, 866, 869, 871,
889, 893, 898, 899, 901, 913, 914, 917, 923, 931, 943, 946, 949, 959,
961, 962, 973, 979, 989, 994, 1001, 1003, 1007, 1027, 1037, 1042,
1043, 1057, 1058, 1067, 1073, 1079, 1081, 1099, 1106, 1111, 1121,
1127, 1133, 1138, 1139, 1141, 1147, 1154, 1157, 1159, 1169, 1177,
1183, 1186, 1189, 1199, 1202, 1207, 1211, 1219, 1234, 1241, 1243,
1247, 1253, 1261, 1267, 1271, 1273, 1282, 1298, 1309, 1313, 1331,
1333, 1337, 1339, 1343, 1346, 1349, 1351, 1357, 1363, 1369, 1378,
1379, 1387, 1391, 1393, 1394, 1397, 1403, 1411, 1417, 1421, 1426,
1441, 1442, 1457, 1463, 1469, 1474, 1477, 1501, 1507, 1513, 1517,
1519, 1522, 1529, 1537, 1538, 1541, 1547, 1561, 1573, 1577, 1586,
1589, 1591, 1603, 1618, 1631, 1633, 1634, 1639, 1643, 1649, 1651,
1661, 1666, 1673, 1679, 1681, 1682, 1687, 1691, 1703, 1711, 1714,
1717, 1727, 1729, 1739, 1751, 1757, 1762, 1763, 1769, 1771, 1778,
1781, 1793, 1799, 1807, 1813, 1817, 1819, 1826, 1829, 1837, 1841,
1843, 1849, 1853, 1858, 1859, 1874, 1883, 1891, 1897, 1903, 1906,
1909, 1919, 1921, 1922, 1927, 1937, 1939, 1943, 1954, 1957, 1961,
1963, 1967, 1969, 1981, 1991

[mente oscura]

Muchas gracias Carlos, es lo que necesito para seguir investigando.
¿Has mirado si se sigue cumpliendo para primos mayores de 2000?
Un cordial saludo.

[Carlos Ivorra]

Muchas gracias Carlos, es lo que necesito para seguir investigando.
¿Has mirado si se sigue cumpliendo para primos mayores de 2000?
Un cordial saludo.

Hasta 10000 todos los fallos se deben a que salen valores enteros en números compuestos.

[mente oscura]

O sea, se sigue cumpliendo para los primos. bien¡
Muchas gracias.
Un cordial saludo.

[mente oscura]

Bueno, con la siguiente fórmula, me "cargo" los pares:



Un cordial saludo.

[el_manco]

Hola

 Un comentario general sobre todas esas fórmulas. Parece mente_oscura que andas en busca de una caracterización como esta.

Existen polinomios con coeficientes enteros , (con coprimos) con tales que se cumple:

 Un número es primo si y solo si es entero para todo

 Pero puede probarse que tal caracterización no existe:

 1) En primer nota que si alguno de los polinomios de los denominadores tiene grado mayor que cero entonces:



 con grado y polinomios con coeficientes enteros y natural.

 Entonces:



 y:



 Por tanto para suficientemente grande nunca es entero.

 Entonces si existiese el criterio que cité al principio, una primera condición necesaria es que los fuesen polinomios de grado cero, es decir, enteros .

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

En todos los polinomios (excepto en uno) aunque el polinomio del denominador es de grado uno, pueden simplificarse y escribirse como cociente de un polinomio con coeficientes enteros y un número.

La excepción es el último que has escrito:



pero es que con ese, el resultado nunca es entero para .

 2) Ahora bajo la condición obtenida en (1). Que es entero equivale a que mod .

 Pero entonces fijado un que cumpliese el criterio, es decir, tal que es entero para cualquier , tomando:

  con

 Tenemos infinitos enteros NO primos que SI cumplirían el critero.

 Conclusión: tal criterio de primalidad no puede existir.

Saludos.