Sobre interior de un subespacio propio y algo más...

[Rocket]

Hola, estoy demostrando algunas proposiciones y me gustaría que le echarán un ojito y me digan si están bien o no.

1. Demuestre que el interior de un subespacio propio de un espacio normado es vacío.

Demostración:

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Sea un espacio normado, y por tanto un espacio métrico, con la métrica inducida con la norma, más aún es un espacio topológico.

Sea un subespacio propio de , queremos demostrar que :

 Supongamos que , esto es, existe .

De donde se tiene que existe tal que .


Por otro lado, por ser subespacio propio de , existe tal que .

Ahora bien,

, de donde se tiene que .

Así, , y como es un subespacio de se tiene que (es cerrado bajo la suma) lo cual es absurdo.

Por tanto, lo supuesto es falso y así

2. Demuestre que en se alcanza la norma; esto es, dado en , existe tal que . Demuestre que este no es el caso de .

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Veamos que en se alcanza la norma, sea en , esto es cuando .

Es decir,

Dado existe tal que entonces

Más aún, cuando .

Ahora bien,

para algún con y .


Así,

,  para algún con y .


Como  es arbitrario, tenemos que

,  para algún .

Por otro lado, sabemos que ,

Así, ,  para algún .

Para la otra parte,

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Supongamos que alcanza la norma.


Consideremos  dado por:

.

Donde,

Y como se alcanza la norma, tenemos que existe tal que


, es decir, .

Lo cual es imposible.

Así, en no se alcanza la norma.

[Tanius]

Por otro lado, por ser subespacio propio de , existe tal que .

¿De dónde surge esta afirmación?

[Tanius]

Como  es arbitrario, tenemos que

,  para algún .

El problema es que ese depende de , el cual a su vez depende de .

[Rocket]

Por otro lado, por ser subespacio propio de , existe tal que .

¿De dónde surge esta afirmación?

Esa afirmación la asumí por el hecho que por ser subconjunto propio de , existe tal que .

Y ese , lo escojo de tal manera que .
 

[Rocket]

Como  es arbitrario, tenemos que

,  para algún .

El problema es que ese depende de , el cual a su vez depende de .

A ver, si lo puedo arreglar.

Tomamos el máximo de esos , siempre que para cada , .

[Tanius]

Por otro lado, por ser subespacio propio de , existe tal que .

¿De dónde surge esta afirmación?

Esa afirmación la asumí por el hecho que por ser subconjunto propio de , existe tal que .

Y ese , lo escojo de tal manera que .
 

Esto último es el problema, no puedes asegurar que exista un con .

Como  es arbitrario, tenemos que

,  para algún .

El problema es que ese depende de , el cual a su vez depende de .

A ver, si lo puedo arreglar.

Tomamos el máximo de esos , siempre que para cada , .

Hmm, no sé a qué te refieres con esto.

Hay una manera sencilla de resolver el problema; el conjunto es compacto.

[Rocket]

Hmm, no sé a qué te refieres con esto.

Hay una manera sencilla de resolver el problema; el conjunto es compacto.

¿Y cómo llego a la conclusión a partir de que el conjunto sea compacto?

[Rocket]

Esto último es el problema, no puedes asegurar que exista un con .

 A ver mi intuición me dice que debería ser así. Pensando en como subespacio de , no es díficil encontrarlo, así que supuse, usando empíricamente el axioma de elección, que para cada , puedo elegir tal que .

Sin embargo, le he dado vueltas al asunto  y no llego a demostrar mi "intuición", decir lo contrario significa que para todo , se tiene que  .

Y lo que he esto significa es que .

Y que y .

Pero esto aún no me lleva a contradicción alguna... Si la ven me avisan... Jeje...

O alguna otra vía para resolver el problema.

[Tanius]

Hmm, no sé a qué te refieres con esto.

Hay una manera sencilla de resolver el problema; el conjunto es compacto.

¿Y cómo llego a la conclusión a partir de que el conjunto sea compacto?

Como es compacto entonces es acotado y cerrado. Si es acotado tiene supremo, si es cerrado entonces el supremo pertenece al conjunto.

Para atacar el otro problema, si supones que tiene interior no vacío, entonces contiene una bola, digamos . Sea ahora arbitrario pero diferente del vector cero. Nota que pertenece a y por tanto pertenece a . Luego por las propiedades de subespacio tendrás que . Además , por lo que habrás mostrado que .

[Rocket]

Vale... De verdad muchas gracias...