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Hola...

Una vez más, ando pasando trabajo con una proposición... Dice lo siguiente:

Demuestre que la norma $\left\|{}\right\|$ del Espacio $l_{\infty}/c_0$ viene dada por $\left\|{\bar{\left\{{x_n}\right\}}_{n\geq1}}\right\|=\limsup_{n\to \infty}\left |{x_n}\right |$ .

Bien, ya verifique que

es cerrado en $l_{\infty}$ , y que $l_{\infty}/c_0$ es un espacio vectorial con las operaciones $\bar{x}+\bar{y}=x+y+c_0$ , y $\alpha\bar{x}=\alpha x+ c_0$ , con $x,y\in l_{\infty}$ y $\alpha \in \mathbb{K}$ .

Por teorema tengo que para $x\in l_{\infty}$

$\left\|{x}\right\|= \left\|{\bar{\left\{{x_n}\right\}}_{n\geq1}}\right\|=d(x,c_0)=\inf \left\{{ \left\|{x+y}\right\|_{l_{\infty}}}; \ y\in c_0\right\}$ , es una norma en $l_{\infty}/c_0$ .

Ahora bien,

$\left\|{x}\right\|= \left\|{\bar{\left\{{x_n}\right\}}_{n\geq1}}\right\|=\inf \left\{{ \left\|{x+y}\right\|_{l_{\infty}}}; \ y\in c_0\right\}=\inf \left\{{ \sup_n\left|{x_n+y_n}\right|}; \ y=\left\{{y_n}\right\}\in c_0\right\}$ .

Por otro lado, sabemos que:

$\limsup_{n\to \infty}\left |{x_n}\right |=\inf_n\left\{{\sup_{k\geq n}\left |{x_n}\right |}\right\}$

Debo demostrar que $\left\|{\bar{\left\{{x_n}\right\}}}\right\|=\limsup_{n\to \infty}\left |{x_n}\right |$ .

Sin embargo, le he dado a las cuentas... Y no me sale...

	Autor	Tema: Norma de un Espacio cociente... (Leído 50 veces)
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