El centro de un grupo de orden 8 es todo el grupo o bien un subgrupo de orden 2. Esto se basa en dos resultados:
1) El centro de un grupo no puede tener índice primo. Para probarlo, usa que en tal caso
sería cíclico, luego tendría un generador
. Todo elemento de
sería de la forma
, con
y de ahí puedes concluir que el grupo sería abeliano.
2) El centro de un grupo de orden potencia de primo no puede ser trivial.
Esto se demuestra usando la ecuación de clases. No sé si la conoces:
, donde los
son representantes de las clases de conjugación de
de cardinal mayor que 1. Si el centro fuera trivial y
, tendríamos que
dividiría a todos los términos de la ecuación excepto a
, pero eso es imposible.
