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alemunozgar

AlexD
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Acotamiento

« : 24/04/2012, 12:29:04 am »

Saludos a todos.
Tengo una duda con el siguiente ejercicio:
Demuestre que $\forall{} n\in{}N$ se cumple la siguiente
cota superior:
$0<e-\displaystyle\sum_{1\leq{}l\leq{}n}{\frac{1}{l!}}<\frac{1}{n!n}$

Utilizando la $Vecindad-\epsilon$ y la definición de cota superior no me es tan fácil como supuse y me pierdo en el camino.

¿Alguna sugerencia de por dónde afrontar el problema?

¡Saludos!


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el_manco

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Re: Acotamiento

« Respuesta #1 : 24/04/2012, 12:21:22 pm »

Hola

En realidad es:

$0<e-\displaystyle\sum_{\color{red}0\color{black}\leq{}l\leq{}n}{\frac{1}{l!}}<\frac{1}{n!n}$

Utiliza que:

$e=\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{1}{k!}$

Por tanto:

$e-\displaystyle\sum_{\color{red}0\color{black}\leq{}l\leq{}n}{\frac{1}{l!}}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^\infty{}\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{(n+1)!}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{(n+1)!}{(n+1+k)!}\leq \dfrac{1}{(n+1)!}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{1}{(n+1)^k}$

Saludos.


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Re: Acotamiento

« Respuesta #2 : 24/04/2012, 10:24:08 pm »

Hola el_manco cordial saludo.

No veo muy claro cuando dices esto:

Cita de: el_manco en 24/04/2012, 12:21:22 pm

$\displaystyle\sum_{k=n+1}^\infty{}\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{(n+1)!}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{(n+1)!}{(n+1+k)!}$

ahora en cuanto a la semejanza de

Cita de: el_manco en 24/04/2012, 12:21:22 pm

$\dfrac{1}{(n+1)!}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{1}{(n+1)^k}$

y $\frac{1}{nn!}$ ¿por qué se da?

Pd: De antemano mil gracias por tu colaboración.

¡Saludos!


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el_manco

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Re: Acotamiento

« Respuesta #3 : 25/04/2012, 03:17:57 am »

Hola

El sumatorio $\displaystyle\sum_{k=n+1}^ \infty{}\dfrac{1}{k!}$ es el sumatorio de todos los inveros de los factoriales a partir de

, por tanto puede escribirse como:

$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{1}{(n+1+k)!}=\dfrac{1}{(n+1)!}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{(n+1)!}{(n+1+k)!}$

Por otra parte:

$\dfrac{(n+1)!}{(n+1+k)}=\dfrac{1}{(n+k+1)(n+k)(n+k-1)\ldots (n+2)}\leq \dfrac{1}{(n+1)(n+1)\ldots (n+1)}=\dfrac{1}{(n+1)^k}$

Finalmente recuerda la fórmula de la suma de una serie geométrica:

$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty{}\dfrac{1}{(n+1)^k}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{n+1}}$

Saludos.


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Re: Acotamiento

« Respuesta #4 : 28/04/2012, 03:37:29 pm »

Entiendo ahora por completo.
¡Saludos y mil gracias!


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