Ecuación del plano sabiendo un punto del mismo y que es paralelo a una recta

[Hernan_ER]

Lo he hecho gráficamente y la correcta creo que es la C pero ¿como me doy cuenta rápidamente cual es? ¿Las ecuaciones de la recta r son relevantes o realmente sirven? Gracias

[Carlos Ivorra]

No creo que se trate de verlo rápidamente, sino de hacer las cuentas pertinentes.

Un vector director de la recta r es , mientras que un vector de s es .

Para sacar el segundo, toma dos puntos cualesquiera de s y réstalos, por ejemplo, y .

Ahora se trata de encontrar la ecuación del plano determinado por el punto P y los dos vectores anteriores. Hay varias formas de hacerlo. No sé cuál habrás visto tú.

[Carlos Ivorra]

Bueno, una forma más rápida es observar que la C) es válida porque contiene a P y no corta a la recta s (las tres ecuaciones juntas son incompatibles) y tampoco a la r (porque queda , es decir, , que es imposible), luego es la respuesta correcta.

[Hernan_ER]

Ahh bien. Entiendo. Cuándo te dicen que una recta es paralela a un plano o viceversa, es imposible saber de cuál plano se habla, ¿verdad? O sea, yo me imagino un plano paralelo a una recta como infinitos planos que no corten a la recta. Pero en este caso es paralelo a 2 rectas, entonces ¿es lo mismo que decir que es paralelo al plano formado por esas dos rectas? es eso lo que me dices ¿no? Si es así entonces el plano sería:



Sólo me quedaría reducirlas.

Gracias Carlos

[Carlos Ivorra]

Ahh bien. Entiendo. Cuándo te dicen que una recta es paralela a un plano o viceversa, es imposible saber de cuál plano se habla, ¿verdad?

Hay infinitos planos paralelos a una misma recta, incluso infinitos que pasan por un punto dado. Con esos datos no es posible determinar el plano.

O sea, yo me imagino un plano paralelo a una recta como infinitos planos que no corten a la recta. Pero en este caso es paralelo a 2 rectas, entonces ¿es lo mismo que decir que es paralelo al plano formado por esas dos rectas?

No exactamente, porque dos rectas no tienen por qué formar un plano. Dibújate, por ejemplo, las rectas y .

es eso lo que me dices ¿no? Si es así entonces el plano sería:



Sólo me quedaría reducirlas.

Correcto.

[feriva]

Sólo me quedaría reducirlas.

Gracias Carlos

Hola, Hernán. Perdóname de antemano que es tarde y a lo mejor estoy medio dormido, pero a mí el coeficiente 5 me sale de compañero de mu, no de compañero de lambda...

Saludos y buenas noches.

[Carlos Ivorra]

Hola, Hernán. Perdóname de antemano que es tarde y a lo mejor estoy medio dormido, pero a mí el coeficiente 5 me sale de compañero de mu, no de compañero de lambda...

Yo lo veo bien: .

[feriva]

Hola, Hernán. Perdóname de antemano que es tarde y a lo mejor estoy medio dormido, pero a mí el coeficiente 5 me sale de compañero de mu, no de compañero de lambda...

Yo lo veo bien: .

Sí, es que yo en el papel había escrito así la ecuación vectorial

.

Cuestión de nomenclatura 

Buenas noches, saludos.

[Hernan_ER]

OK, ahora para pasar a paramétrica no se qué hacer con el mu. Me queda:



¡Gracias!

[feriva]

OK, ahora para pasar a paramétrica no se qué hacer con el mu. Me queda:



¡Gracias!

Hola, Hernán. A partir de las paramétricas que ya tienes y tomando uno por uno cada ejemplo, puedes ir descartando las que no se ajustan a las ecuaciones que has obtenido, llegando a absurdos; me parece que la única que se ajusta es como tú habías dicho.

Saludos

[Hernan_ER]

Si, podría hacer eso también pero si quisiera pasarla a su forma implícita, ¿como quedarían?. De esa forma veo claramente cuál es la respuesta correcta. Pero no sé cómo deshacerme de mu.

Gracias 

[feriva]

Si, podría hacer eso también pero si quisiera pasarla a su forma implícita, ¿como quedarían?. De esa forma veo claramente cuál es la respuesta correcta. Pero no sé cómo deshacerme de mu.

Gracias 

Espera, que aquí hay algo raro. Las paramétricas de un plano tienen que llevar los parámetros asociados cada uno de ellos a una variable, y aquí "mu" no va asociado a "z" ni a "x" ni a nadie, es una cosa rara. Luego miro a ver qué pasa, que ahora voy a comer.

Saludos.

[feriva]

Claro, estoy tonto. mu en realidad no es un parámetro, es un escalar que sale de la combinación lineal del vectores, que no tiene por qué ser siempre un parámetro (a veces sí). Entonces, si "x" e "y" son el parámetro lambda, como es un plano, . Y ésas son las paramétricas del plano; y ahora sí salen la implícitas, que son las que decías.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

OK, ahora para pasar a paramétrica no se qué hacer con el mu. Me queda:

Está bien. y son parámetros arbitrarios. Al igualar has eliminado y la segunda ecuación te dice que, como es arbitrario, también es arbitrario y puedes eliminar la ecuación (ya que no impone ninguna condición sobre z). La ecuación del plano es simplemente , que es la respuesta C) del enunciado.

[feriva]

Los mismo que ha dicho Carlos, dicho de otra manera, se puede expresar así: la ecuación de un plano tiene dos parámetros, uno de ellos igual a cualquiera de las variables y el otro igual a cualquiera de las otras variables. Puesto que de la ecuación vectorial vemos que x=y, entonces, si hacemos "x" igual al parámetro "a", también "y" será igual al parámetro "a"; y, al ser un plano, el otro parámetro tendrá por fuerza que ser la otra variable que queda: ; luego de esas paramétricas se ve inmediatamente que las cartesianas son




y las implícitas, lógicamente, las que ya hemos dicho

En la combinación lineal de vectores de una recta, el parámetro siempre es el parámetro propiamente dicho, en cambio, en variedades lineales de más dimensiones surgen esos escalares; en algunos libros se recomienda no asignarles letras griegas precisamente por esto, sino letras normales para, después, reservar los lambda, beta, mu y demás para los parámetros propiamente dichos.


Saludos.