Demostrar que una función es continua

[Masba]

Hola! espero me puedan ayudar con la siguiente demostración:

Si es monótona a pedazos, y satisface la PVI (propiedad del valor intermedio) en el intervalo entonces f es continua en cada punto del intervalo

[pepito]

Hacé así: dado , sea tal que es monótona en el intervalo (agregado: supongamos primero que es creciente en ese intervalo). Probá que si no es continua a derecha en , entonces no cumple la propiedad del valor intermedio, porque no hay ningún punto del intervalo en el que tome el valor , que es un valor mayor que y menor que . Agregado: y si era decreciente, hay que tomar supremo en vez de ínfimo.

Eso probaría que es continua a derecha en todos los puntos de . Razonando de igual manera podés probar que es continua a izquierda en todos los puntos de .

[Masba]

Hola!
Para lo siguiente tengo esto.

Si es monótona a pedazos, y satisface la PVI (propiedad del valor intermedio) en el intervalo entonces f es continua en cada punto del intervalo .

Sea . Supongamos que tal que es monótona en . Supongamos que es creciente en ese subintervalo. Como es creiciente y esta entonces .
 Nos dan . Tenemos que encontrar tal que si está más cerca que de , entonces está más cerca que de .

  Buscamos dos números tal que:
y además que cumplen: .

Si tomamos .
Si tomamos .
Si alguna de las dos no se cumple, puedo tomar:
y .
Por que la función cumple la propiedad del valor intermedio.

De

entonces, si tomo tal que , entonces y por lo tanto, como es creciente, tenemos que .

Esta demostración esta dada para el intervalo . Como la podría cambiar para el intervalo .

[pepito]

En realidad te faltó también ver qué pasa en los , y ahí radica el problema, porque de hecho, es el primero de ellos y es el último. Para terminar, lo que te conviene es adaptar esa misma demostración pero para probar primero únicamente que es continua a derecha en cada uno de los distinto de , y después adaptarla de forma análoga para probar que es continua a izquierda en cada uno de ellos distinto de . Por eso en mi mensaje (¿lo leiste?) separé la continuidad a izquierda y a derecha, así podía tomar un punto cualquiera del intervalo y no preocuparme por si es justo un punto en el que el crecimiento cambia.

De paso, estaría bueno que aclares dónde se está usando el que cumple la propiedad del valor intermedio.

[Masba]

Si lo leí.
El maestro nos dio esta demostración que transcribi. Pero no entiendo como la adapto (ajusto) para considerar y .

[pepito]

Bien agregada la aclaración que faltaba.

Pero y no son los únicos puntos que faltan. Si ¿cuáles serían los puntos y que estás tomando en tu demostración para ?

[Masba]

Son todos los subintervalos que contienen a c=0 ?? uno de ellos es [-1,1]

[pepito]

Pero no es monótona en ninguno de ellos.

[Masba]

Es monótona a pedazos. Tiene uno creciente y otro decreciente.

no se como adaptar la demostración.

[pepito]

Por eso, ese intervalo no siempre va a existir. Lo que sí va a existir es un intervalo de la forma (con ) en el que es monótona, y otro de la forma (con ) en el que es monótona. Usando el primero deberías probar que es continua a derecha bajo estas hipótesis (exactamente igual que en la demostración que te dio el profesor, pero escribiendo únicamente la parte que transcurre a la derecha de ), y usando el segundo, que es continua a izquierda.

Y la única diferencia que va a aparecer si o en vez de ser , es que la función sólo está definida a un costado de y no al otro, pero la continuidad por el costado en el que sí está definida, se va a probar exactamente de la misma manera que la continuidad por ese costado en cualquier otro punto (o sea, lo que hiciste recién).

[Masba]

Si escribo esta bien ??

Sea. Supongamos que tal que es monótona en .
Supongamos que es creciente en ese subintervalo. Como es creciente y esta entonces .
Nos dan . Tenemos que encontrar tal que si esta más cerca que de , entonces está más cerca que de .

Buscamos tal que:
y además que cumplen: .

Si tomamos
Si no se cumple

De .


Si tomo tal que entonces y por lo tanto como es creciente, tenemos que

[pepito]

Exacto.

[Masba]

Y esto ??

Sea . Supongamos que tal que es monótona en .
Supongamos que es creciente en ese subintervalo. Como es creciente  y está en entonces .
Nos dan . Tenemos que encontrar tal que si esta más cerca que de , entonces está más cerca que de .

Buscamos tal que:
y además que cumple: .

Si tomamos
Si no se cimple

De .


Si tomo tal que entonces y por lo tanto, como es creciente, tenemos que
.

[pepito]

Salvando algún que otro error sutil, están bien las dos. Con eso probarías que es continua a derecha en , a izquierda en , y tanto a derecha como a izquierda en cualquier punto de . Lo único, me parece que no estaría de más reescribir, en ambos, esta parte:

Si no se cimple

donde supongo que estás queriendo decir:

Si no se cumple, entonces tomo tal que , que puedo asegurar que existe porque cumple la propiedad del valor intermedio.

[Masba]

Si, eso me gusta. Corregire los errores sutiles, gracias! 

[Masba]

Disculpa, mi maestro dice q lo que busca es: "es que lo verdaderamente importante es qué pasa en el extremo del intervalo. bueno, digamos que lo verdaderamente diferente porque si c no es un extremo de intervalo, todo se reduce al caso ya revisado" ...si c no es uno de los x_i, está dentro de uno de los intervalos en los que la función es monótona, ¿qué pasa si no está dentro de uno de esos intervalos, si no en el extremo? o sea, donde termina uno y empieza el otro?

También me puso, "el argumento básicamente es el mismo que la otra demostración sólo que ahora sólo te mueves hacia un lado cuando te alejas de c, en el dominio te puedes mover a ambos lados, pero en la imagen no"

[Masba]

Como lo estabamos haciendo, ya que tenemos las dos partes, a la derecha y a la izquierda de c. Como lo podría concluir?