Problema de demostración sobre continuidad

[Invencible]

Probar que si f es una función continua en el intervalo [0,2] y , entonces existen tales que y

[Braguildur]

Hola.

 Que bonito problema, no lo había visto antes. Te indicaré una idea bastante intuitiva de probarlo y tu trabajo será intentar formalizar la idea. Primero nota que si , entonces el problema ya está resuelto. Entonces en el caso en que , concentrémonos en el gráfico de solo en el intervalo , si trasladamos éste gráfico una unidad a la izquierda, tendremos el gráfico trasladado y superpuesto al gráfico de correspondiente al intervalo . Bien, entonces justamente el hecho de que , nos garantiza que exista (por lo menos) un punto en el que los gráficos traslapados se cortan, concluye notando (por la geometría de nuestra construcción) que los puntos buscados son y .

 Si tienes dudas o dificultades a la hora de formalizar, pregunta, indicándonos tu avance.

Saludos.

[numbsoul]

También se puede resolver analíticamente considerando la función continua dada por y probando que se anula en algún punto.

[Braguildur]

Hola.

 Si, esa es justamente la formalización del problema a la que quise que llegara Invencible (lo que dí antes solo fue una interpretación geométrica del asunto), notemos la expresión representa la traslación de una unidad a la izquierda de la última parte de la gráfica de . Y la resta , es la que consigue probar la existencia de gracias al teorema del valor intermedio (él que usualmente, para asegurar puntos de coincidencia de funciones, se usa en la resta de las funciones).

Saludos.

[el_manco]

Hola

 ¿Compañeros de curso?

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,56115.0.html

Saludos.

[Invencible]

Vale, muchas gracias por la respuesta

[yotas]

Que bonito problema, no lo había visto antes.

Lo más bonito es que admite una generalización para el punto en la función continua y . Con la misma demostración.

Me pregunto si aceptará una más "general" (énfasis en las comillas). Por ejemplo, si la función nunca cambia de signo, tiene un sólo máximo, y entonces para todo existen tales que y . Sólo digo por decir, no lo he intentado. 

¿Compañeros de curso?

Jejeje.

¡Buen viaje! 

[Braguildur]

Hola.

 Si, la generalización que planteas también es válida, solo que eso de que la función tiene un sólo máximo, sería sólo en el caso en que los valores de la función sean no negativos, en el otro caso la condición sería que la función tenga un solo mínimo.

 Una idea, que nuevamente invito a formalizar y prueba el resultado, es ubicar el punto de máximo (por situarnos en en caso de que la función sea no negativa), llamemos a este punto, y usarlo como punto divisor de la gráfica de la función en dos partes. Conseguiremos probar el resultado buscado notando que los gráficos de la función en el intervalo y la traslación del resto del gráfico, unidades a la izquierda, se cortan, en por lo menos un punto.

Saludos.

[Invencible]

jajaj ya veo que les ha gustado el problema, me alegro mucho, la verdad que tiene un algo que lo hace especialmente bonito. En cuanto a la generalización que propones me resulta muy interesante, la observaré detenidamente cuando tenga un rato. Un saludo y gracias