Ejercicio de series de Taylor: revisión

[xxx_jack_xxx]

el problema dice hallar la serie de taylor alrededor de a=4 para


he hallado que la derivada ene-sima es



asi el termino ene-simo tiene la forma de



luego si f tiene representacion en polinomio de taylor entonces su forma sera




ahora queda por determinar el residuo o resto



en general sabemos que



asi si multiplicamos ambos miembros por (n+1)! se obtiene


 



entonces podemos tomar M=(n+1)! quedando asi en el residuo




si n tiende a infinito debemos proponer que  |x-4|<1  para que R tienda a cero


asi  3<x<5   (los extremos no los analice pero los puedo analizar por separado y ver que pasa)


luego f(x) tiene representacion en serie de potencias en 4 si  3<x<5, luego la representacion en serie de taylor para f(x) centrada en 4 es





donde esta serie converge a f(x) si x pertenece al intervalo 3<x<5  para todo x distinto la serie de taylor no converge a f(x)

por favor queria que me digan si esta bien hecho gracias de antemano, no quiero la respuesta

gracias !

[el_manco]

Hola

 Está bien.

 Tan sólo observar que en la cota que haces del resto (al acotar la derivada) usas que .

Saludos.

[xxx_jack_xxx]

gracias cada vez entiendo un poquito mas de esto jeje aproposito, para que se usa ??¿

[el_manco]

Hola

 ¿Para qué se usan las series de Taylor?.

 Para encontar polinomios que nos den una respresentación "suficientemente buena" de una función cerca de un punto. Esto es útil porque sabemos mucho de las funciones polinómicas y son mucho más fáciles de controlar que funciones arbitrarias.

 Desde un punto abstracto nos sirve por ejemplo para calcular límites.

 Cuando se usan en matemática aplicada, permiten manejar de manera aproximada funciones de las cuales no conocemos su expresión explícita pero si sus primeras derivadas.

Saludos.