Diagonalización simultánea

[JuanchoMAT]

Sean y operadores sobre un espacio   sobre el cuerpo , , ambos diagonalizables.
Si ,  entonces existe un polinomio , de grado a lo sumo , tal que .

¿Alguna sugerencia?

[Braguildur]

Hola.

 Hmm... estoy algo oxidado en diagonalización simultánea, pero sospecho que luego de usar algún tipo de resultado de diagonalización simultanea (ahora no recuerdo muy bien las hopótesis de los resultados y no se si la simetría sea una hipótesis necesaria), todo se reduce a resolver el problema al caso en que y sean diagonales y para este caso el polinomio se obtiene usando un polinomio de interpolación de Lagrange en los términos de las diagonales de las matrices.

 Trata de trabajar esta idea y si tienes alguna dificultad, pregunta.

Saludos.

[JuanchoMAT]

La simetría combinada con el hecho de que los operadores son diagonalizables, garantiza que ambos operadores son diagonalizables simultaneamente. Es decir, si y son las representaciones matriciales de y respectivamente  en una misma base, entonces existe una matriz inversible tal que y  son diagonales.


La idea es construir un polinomio tal que haga lo siguiente: Si



y



entonces tomar un polinomio tal que .

Asi y por tanto y listo.
mi problema es construir el polinomio . ¿Como garantizo por interpolacion de Lagrange que dicho polinomio existe?

[Braguildur]

Hola.

 Hmm... no se si me estoy perdiendo de algo, pero en tu mensaje inicial no mencionas que y son simétricas, de hecho no mencionas que sea un espacio con producto interno. Pero obviando ésto, si ya se puede diagonalizar simultaneamente a los operadores, como te dije en mi anterior mensaje y lo haz expuesto muy bien en tu anterior respuesta, todo se reduce al caso de dos matrices diagonales.

 Ahora, justamente para ésto nos valemos de los polinomios de interpolación de Lagrange. Puedes comprobar que dados los puntos del plano , su polinomio de Lagrange de grado (si los puntos son diferentes) asociado, , es justamente un polinomio que verifica las igualdades , para todo . Éstas últimas igualdades las puedes comprobar a mano, justamente por la forma que tiene el polinomio asociado a la lista de puntos que tomamos. (Siendo coloquiales, digamos que éstas igualdades son justamente la "gracia" que tienen los polinomios de interpolación de Lagrange).

 Entonces, debido a las anteriores igualdades, podemos verificar que . Y ésto terminaría la prueba, cualquier duda, pregunta.

Saludos.

[JuanchoMAT]

 Pense  que cuando hablaste de simetria hacias referencia a la conmutatividad.

 Para aplicar la intepolacion de Lagrange ¿no hay que garantizar que los sean distintos?.

[Braguildur]

Hola.

 Pero si , entonces (en nuestro caso) y tendríamos que . Luego en la lista de puntos para obtener el polinomio de Lagrange habrá menos de puntos y el polinomio tendría grado menor que .

 Sobre lo de la simetría, solo lo mencioné porque ahora no recuerdo las condiciones necesarias para una diagonalización simultanea, por eso, si ya la tienes garantizada, no me hagas mucho caso.

Saludos.

[JuanchoMAT]

Hola soy un poco lento, muchas gracias por tu ayuda

Hola.

 Pero si , entonces (en nuestro caso)

¿Como garantizo esto?

[numbsoul]

¿Qué sucede si es el operador nulo y no es un múltiplo de la identidad?

[numbsoul]

¿Qué opinan?
¿Está faltando alguna hipótesis o es que estoy confundido?

[el_manco]

Hola

 Tienes razón numbsol. Hace falta añadir la hipótesis de que para cada autovalor de el espacio característico esté contedido en un espacio característico de .

 Eso garantiza que ocurra lo que aquí apuntaba Braguildur:

Pero si , entonces (en nuestro caso) y tendríamos que . Luego en la lista de puntos para obtener el polinomio de Lagrange habrá menos de puntos y el polinomio tendría grado menor que .

Saludos.