a) Sea
un espacio vectorial sobre
. Demuestra que
Lo he resuelto como sigue. Demuestro primero que
Sea
. Entonces
, con
Entonces también lo puedo expresar como
, con
(Suponiendo que hasta aquí lo tenga bien... ¿hay una notación más cómoda?)
.
Llamo
y
Luego
, por lo que
Y demostrar que
, lo hago exactamente igual, pero empezando al revés.
Está bien. Una demostración alternativa se basa en que
es el menor subespacio vectorial que contiene a
. Entonces, como
y
, tienes que
y, como la suma es un espacio vectorial,
. La inclusión contraria se puede probar de forma parecida.
b) Si
es un subespacio vectorial de
, entonces
.
Lo veo raro. ¿No sería Si
es un subespacio vectorial de
, entonces
?
No. Si
es un subespacio vectorial, el menor subespacio vectorial que contiene a
es
.
c) En
se consideran los vectores
,
,
,
. Demuestra que
Si
,
, ¿he de llegar a que
No creo que sea como digo, veo complicado llegar a eso. Pero, por otra parte, creo que la definición la estoy aplicando bien, así que no sé qué me ocurre.
Si demuestras que
, entonces
, luego
. Igualmente se prueba la otra inclusión.
En general (y esto vale para todos los apartados del problema) la mejor forma de probar que un espacio
está contenido en otro, es demostrar que
lo está. Eso es suficiente.
d) Sea
un espacio vectorial de dimensión 3 sobre
y sea
una base de
. Dados los vectores
,
, hallar un tercer vector
de manera que
formen una base de
y tenga coordenadas
en esta base.
Lo que intento hacer es que si
, entonces
, pero esto no puede ser. Debo interpretar mal el enunciado.
No entiendo la pregunta, ¿quién ha de tener coordenadas (1,1,1) en cuál de las dos bases? Porque parece que sea
el que tenga que tener dichas coordenadas en la base
, pero eso es imposible, sus coordenadas son
.
