i-ésima potencia de una matriz

[skullduggery]

demuestra que la iésima potencia de la matriz



se obtiene a partir de la matriz nula escribiendo los unos en la i-ésima paralela de la diagonal principal situada por encima de ella

ya siento que la matriz sea tan horrible pero no puedo poner puntos suspensivos oblicuos...la matriz que debería haber arriba es la matriz nula, pero en la diagonal de encima de principal son todo unos.

[el_manco]

Hola

 Intenta probarlo por inducción.

Saludos.

P.D. Te he corregido la matriz para que quede mejor escrita.

[skullduggery]

pero no entiendo para el caso de elevado a uno y dos si funciona ya esta comprobado, pero para el caso de n y n+1 como se haría

[numbsoul]

Tenemos que .Digamos que la matriz es de .

Observa que la matriz está definida por si y es nula en los demás lugares.

Por hipótesis inductiva, si y es nula en los otros lugares.

Para el producto,tenemos (simplemente por definición del producto matrixial)

Veamos qué pasa cuando ,o equivalentemente,.

Vemos que si y solo si .En este caso ,mientras que (Esto es porque y ).

Demuestra que si ,entonces ,y esto completa la prueba.