Esta mañana he encontrado tu libro en internet y me lo he bajado.
Ah, vaya. Muchísimas gracias por tomarte la molestia.
La verdad es que el concepto de "conectivo" está "definido" (si se puede decir que lo está) de forma muy poco precisa. No queda claro sobre qué actúan los conectivos. Cuando pone ejemplos con tablas de verdad, parecen funciones sobre n-tuplas de ceros y unos, pero a veces parece que pretenda hacerlos actuar sobre variables, pero también parece entender que las variables, que en principio son meros signos lógicos, los interpreta como variables metamatemáticas que puede sustituir por ceros y unos.
Tampoco veo que, con su notación, tenga sentido la equivalencia que escribe en el enunciado del teorema, en la que parece considerar a
como una fórmula, pero si fuera una fórmula bastaría tomar
.
Es verdad. Está muy confuso el libro en esta parte de los conectivos, y a mi estos ejercicios (para colmo son unos cuantos) me tienen muy mareado. Por lo que entiendo, usa la notación
para referirse a algo, un objeto, que es como una "fórmula" en el sentido de que se le puede asignar un valor de verdad, 0 o 1, dependiendo del valor de verdad de
, de
, etc. Mira aquí lo que dice (que fue lo transcribí yo en un mensaje anterior):
Por lo que escribes acá:
Prescindiendo de su notación incoherente, lo que hay de fondo es que tú tienes una función
que a cada n+1-tupla de ceros y unos le asigna un cero o un uno.
parece que interpretaste al símbolo
como si fuera esa función
de la que habla el texto (lo cual tiene más sentido).
Por otra parte, el libro usa unos corchetes dobles para referirse al valor de verdad de "algo" según una valuación
arbitraria. Pero en la definición de valuación, se supone que el dominio es
y está haciendo
donde
es algo que no está en
. Por eso también lo que dices acá:
Tampoco veo que, con su notación, tenga sentido la equivalencia que escribe en el enunciado del teorema, en la que parece considerar a
como una fórmula, pero si fuera una fórmula bastaría tomar
.
De todas maneras, he entendido la demostración con lo que explicas aquí:
Defines entonces las dos funciones auxiliares que a cada n-tupla de ceros y unos la completa con un cero en un caso y con un uno en el otro y luego le hace actuar la función dada. (La forma en que lo dice el libro es cuestionable.) Luego les aplica la hipótesis de inducción a estos dos conectivos.
Entonces la tabla de verdad de
es la mitad superior de la tabla de
sin la columna de
. Análogamente con
. Me parece que hubiese sido mucho más entendible decir eso a meter
como primer parámetro que fue lo que me confundió. Además
es un conectivo según la teoría, no podría ir ahí como parámetro (creo). Por si fuera poco ¿qué tipo de conectivo sería
? ¿Un conectivo 0-ario? En la definición se habla de conectivos n-ádicos con
. Hay cantidad de cosas que no cuadran...
Lo peor es que a mi estas pequeñas incoherencias (por más que no debieran dificultar el entendimiento de los conceptos que quieren transmitir, que están claros), me complican mucho, porque no sé exactamente qué es lo que debo hacer en los ejercicios. No sé cómo argumentar, y eso me preocupa para el parcial. Por ejemplo, si me piden demostrar que
(el conjunto que tiene únicamente a la barra de Sheffer) es funcionalmente completo, lo que haría es decir que, por el teorema que se discutió en este post, el conjunto
es completo, y por lo tanto si podemos expresar estos dos conectivos en términos de la barra de Sheffer, el conjunto
será también completo. ¿Estaría bien esa justificación? Luego muestro las equivalencias, y listo. Pero mi profesor hizo todo lo que expliqué en mi primer mensaje... (que además viendo ahora lo que quieren significar en el libro, me parece que está mal, porque en el libro se haba de cualquier conectivo, en ese sentido general, no sólo los de
).
Hablando de lo que hablábamos ayer, he visto que más adelante (sección 1.4) pasa a considerar un lenguaje formal que es como PROP, pero sólo con tres conectivos (con lo que implícitamente está diciendo "todo lo que vale para PROP, vale para éste").
Sí, la sección 1.4 es sobre deducción natural. Se construye un lenguaje formal de derivaciones (
) para "probar" proposiciones a partir de ciertas premisas. La notación
significa que existe una prueba de
a partir del conjunto de hipótesis
. Y se construye esa prueba de manera totalmente independiente de las valuaciones, las tautologías, las tablas de verdad, las equivalencias, el teorema de sustitución, y todos esos aspectos semánticos. En apariencia, no tiene nada que ver con la semántica. Pero después en la sección posterior, se relacionan ambos conceptos. En realidad se prueba que es lo mismo, hay un teorema de completitud sumamente importante que dice
, es decir,
es consecuencia lógica de
si y sólo si, se puede construir una prueba de
a partir de las hipótesis de
.
Muchas gracias por ayudarme, Carlos.
Saludos
