Validez en la deducción del plano afín z=1.

[athair]

Hola, quería dejar el siguiente desarrollo (bastante elemental, por cierto), para chequear si tiene errores (conceptuales, básicamente).


La cuestión es la de obtener la expresión del plano afín z=1 en la base canónica de , a partir de 3 puntos.



Dados los puntos y , se pueden obtener dos vectores directores y , lo que daría y .

Luego, tomando dichos vectores directores y el punto , se puede obtener la ecuación del plano z=1 a partir del siguiente determinante:

                                        

lo que resulta en .



De esta forma, se estaría dando la ecuación del plano z=1 como: (la de) un plano a partir de dos vectores (directores) y un punto, en .

Bueno, un saludo y gracias!!!

[el_manco]

Hola

 Es correcto.

Saludos.

[athair]

Gracias!! Dejo aquí una transformación de todo el esquema anterior (es extenso pero elemental!), por una T.Lineal; y hacia el final, haré algunas preguntas, para chequear errores de concepto (gracias por la gran paciencia!!)!!.

Tomando como matriz de T (eludo la cuestión de su trasposición en la notación, etc.) a , la misma transformaría el esquema anterior del siguiente modo:


Los transformados y de los tres puntos iniciales y , serían:


                          ;

                          ;

                          .


Los nuevos vectores directores, resultan del siguiente modo:


                                 y

                          .


Así, se tienen dos vectores directores: y un punto , que permiten generan un plano en .


Volviendo a formar el determinante (y producto cruz), quedaría:


                           .



Esto daría un plano de ecuación: ; es decir: .

                       _________________________________________________________________

Bueno, si y sólo si lo precedente fuera correcto, dejaría dos preguntas:


1) Tomando los vectores directores , y calculando el plano que definen al pasar por el Origen de , se obtiene un plano paralelo al anterior, como sigue:

                               

Lo que da una ecuación como   

¿El plano (por el origen) representado por tal ecuación puede entenderse como recta del infinito imagen en la nueva base de , de el (del sistema inicial: base canónica); siendo ésa última, un plano paralelo al plano y aquélla, un plano paralelo al de ecuación ?


2) ¿Podría cortarse un cono con el plano , por un lado; y por otro, con el plano ? La ecuación del cono podría ser la misma en ambos casos,  ó debe variar?


Bueno, más que agradecido (este tipo de pregunta me ayuda a visualizar un poco geométricamente algunos conceptos)!!! Un saludo!!!

[athair]

Por lo que he podido ver en el interín, hay algo que está (quizás, muy claramente) faltando allí.

La cuestión de los cuatro puntos (y sus homólogos) no se encuentra por ningún lado allí.

Recién acabo de comprender por vez primera, que dados tres puntos en un plano (afín...diría) como permiten establecer un sistema de coordenadas homogéneas de tres componentes.

-Me pregunto ahora si esto podría haberse oscurecido para mí, tal vez, por haber eliminado conceptualmente la posibilidad de considerar como punto proyectivo presente en el plano , al punto .

-Me pregunto, también ahora, si en el contexto de "dos vectores directores y un punto en ", los mismos permiten definir tres puntos proyectivos en el plano analítico generado (analíticamente) por dichos tres elementos.

Esto puede parecer trivial, pero por distintas razones, no lo había podido ver de esta manera hasta aquí.

Bueno, con esta aclaración espero haber podido evitar una carga explicativa demasiado engorrosa. Un saludo y gracias!!!


Pd: sigo sin comprender la relación entre la transformación de como espacio vectorial ordinario (v.g. aplicar una transformación que modifique la base canónica), y la transformación del sistema de coordenadas que en el mismo , sobre el plano , definen tres puntos proyectivos (ó para el caso cuatro, agregando el punto unidad...también sobre el plano ). No sé si se trata de algo como una especie de subordinación, o es de otra índole. Igual, con el tiempo tal vez se aclare.

[el_manco]

Hola
 
 Me resulta todo extremadamente confuso.

 Mezclas el uso de espacio vectorial, plano afín y (de manera subyacente) plano proyectivo, sin tener en cuenta los matices de cada caso.

 En un espacio vectorial una base está formada por tres vectores; pero sin embargo una referencia proyectiva está dada por cuatro puntos.

 Entonces cuando haces preguntas del tipo "puede entenderse".. en general... la respuesta es "si puede entenderse" pero no es lo natural. Dicho de otra manera haces una serie de consideraciones que me resultan extrañas, como quien estudiando mecánica de un coche pregunta si un asiento del mismo puede reconvertirse en un sofá para casa. Si, puede hacerse. Pero no parece lo más natural.

 Por contestar algo concreto tres puntos proyectivos no definen una referencia en el plano proyectivo porque corresponden a tres rectas del espacio vectorial (no a tres vectores) y en cada recta no tenemos fijado que vector director consideramos.

Saludos.

[athair]

Gracias por la respuesta!! (Era la que más esperaba-de las 3!!!).

Haré lo siguiente: empezaré por describir una recta proyectiva, tratando de distinguir los elementos vectoriales, afines y proyectivos. Sólo después, trataré de pasar al plano proyectivo.


1-Se trabaja con el espacio vectorial en la base canónica.

2-Las rectas de que pasan por el origen, son puntos del espacio proyectivo (los vectores directores de estas rectas, por supuesto, son conjuntos de tres coordenadas en la base canónica de 1).

3-Se elije (este punto ya es problemático, pero esto lo explicaré más adelante) el plano z=1 para representar los puntos propios del espacio proyectivo descripto en 2.

4-Dos rectas de no paralelas al plano z=1, se corresponden con dos puntos del plano z=1: estos dos puntos son puntos propios del plano proyectivo , es decir, puntos afines.

5-Esos dos puntos proyectivos propios (=afines) de 4, definen lo que se llama una recta afín en z=1.

6-Dicha recta afín en z=1, aún no define una recta proyectiva, pues todavía falta una tercera coordenada para definir una recta proyectiva. Por esta razón, a la recta afín en z=1, se la denomina "recta sostén (ó base)" de una "puntual" (=conjunto de puntos, proyectivos, que pasan por una recta).

7-Al definir un tercer punto: por ejemplo, el punto unidad (suma de los dos puntos proyectivos propios-afines que definen la recta sostén, se establece un sistema de coordenadas (implícito) en la recta sostén: es decir, una "puntual r". Este tercer punto proyectivo (supuesto propio)-es un tercer punto afín que (al menos si es el punto unidad) se encontrará entre ambos puntos proyectivos propios-afines iniciales (que definen la recta en z=1).

8-El que la antedicha definición de un tercer punto (que puede llamarse "normalización"), no es única (sino optativa), demuestra que una misma recta sostén permite definir diversas puntuales; es decir, diversos sistemas de coordenadas proyectivas para una puntual genérica :r (sistemas de coordenadas proyectivas que constan de n+2 puntos).


No sé si hasta aquí, estaríamos más o menos de acuerdo. Después puedo seguir paso a paso. Un saludo e infinitamente agradecido por todo esto!!!

[el_manco]

Hola

Haré lo siguiente: empezaré por describir una recta proyectiva, tratando de distinguir los elementos vectoriales, afines y proyectivos. Sólo después, trataré de pasar al plano proyectivo.

De acuerdo. Pero lo que has descrito en los puntos sucesivos es el plano proyectivo (¡ah! leyendo los últimos puntos entiendo porque dices que te centras en una recta proyectiva).

2-Las rectas de que pasan por el origen, son puntos del espacio proyectivo (los vectores directores de estas rectas, por supuesto, son conjuntos de tres coordenadas en la base canónica de 1).

Entiendo que por espacio proyectivo, te refieres al plano proyectivo.

3-Se elije (este punto ya es problemático, pero esto lo explicaré más adelante) el plano z=1 para representar los puntos propios del espacio proyectivo descripto en 2.

Esto ya es una elección, como bien dices. Podemos elegir cualquier plano que no pase por el origen, para representar puntos propios siendo los del infinito los que están en rectas paralelas al mismo. Ahora lo usual es elegir .

4-Dos rectas de no paralelas al plano z=1, se corresponden con dos puntos del plano z=1: estos dos puntos son puntos propios del plano proyectivo , es decir, puntos afines.

Correcto.

5-Esos dos puntos proyectivos propios (=afines) de 4, definen lo que se llama una recta afín en z=1.

Correcto.

6-Dicha recta afín en z=1, aún no define una recta proyectiva, pues todavía falta una tercera coordenada para definir una recta proyectiva. Por esta razón, a la recta afín en z=1, se la denomina "recta sostén (ó base)" de una "puntual" (=conjunto de puntos, proyectivos, que pasan por una recta).

La idea es correcta. Pero no me gusta mucho como la has escrito. No me gusta eso de que "falte una tercera coordenda". La recta afín es una recta contenida en el plano . Por cada punto de la misma pasa una recta por el origen, que nos permite interpretar esos puntos de la recta como puntos del plano proyectivo y por tanto como una recta proyectiva. Ahora todas esas rectas están contenidas en un plano pasando por el origen, el que contiene a la recta y al origen. Y en ese plano todavía hay una recta por el origen que no corta a y corresponde al punto del infinito de la recta de partida.

7-Al definir un tercer punto: por ejemplo, el punto unidad (suma de los dos puntos proyectivos propios-afines que definen la recta sostén, se establece un sistema de coordenadas (implícito) en la recta sostén: es decir, una "puntual r". Este tercer punto proyectivo (supuesto propio)-es un tercer punto afín que (al menos si es el punto unidad) se encontrará entre ambos puntos proyectivos propios-afines iniciales (que definen la recta en z=1).

No tiene demasiado sentido que establezcas como hecho excepcional que el punto sea el punto unido suma de los iniciales. Ten en cuenta que en coordendas homogéneas coordenadas proporcionales definen el mismo punto. Entonces dados los puntos de coordenadas proyectivas: y , cualquier punto de la forma:

con

puede ser tomado como punto unido e intrepretado como suma de los puntos iniciales. Cualquier punto así determinado es un punto de la recta que une los puntos de partida.

8-El que la antedicha definición de un tercer punto (que puede llamarse "normalización"), no es única (sino optativa), demuestra que una misma recta sostén permite definir diversas puntuales; es decir, diversos sistemas de coordenadas proyectivas para una puntual genérica :r (sistemas de coordenadas proyectivas que constan de n+2 puntos).

Pero tampoco es única la elección de los dos puntos que elegimos al principio para definir la recta.

Saludos.

[athair]

Hola, gracias por las respuestas!!!

Estoy de acuerdo en todo (ej. lo del punto unidad, que no debe ser necesariamente ése el que normalize...; idem. lo de que también se pueden elegir diversos sistemas de coordenadas en una recta sostén (plano por el origen que se corta en la recta afín con el plano z=1...), lo que dará distintas "puntuales" según se elijan los dos puntos propios iniciales, etc.).

A continuación, me voy a referir al punto 6 y el comentario que has hecho. Antes de hacerlo, quiero aclarar que este punto me era fundamentalmente un misterio. Creo también que fué por tal razón, que mi explicación y tu comentario difieren bastante en algún sentido conceptual (o de enfoque o perspectiva), como señalas. Esta cuestión (que trataré de explicar ahora, para ver cómo se ve según tu óptica), desde hace bastante tiempo que me era una especie de acertijo.

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El libro de Birkhoff, por ejemplo, define "...una recta proyectiva es, entonces, una recta del plano afín z=1, más un punto de la recta del infinito"; es decir, la explicación que tu dás (y yo conocía, pero no lograba compatibilizar, como explicaré ahora.)

Santaló, por su parte, hace aproximadamente lo siguiente (ó al menos, eso acabo de reinterpretar luego de largo tiempo): empieza por el hecho de que dos puntos (propios) de un plano (proyectivo) definen una recta (probablemente, recta sostén: es decir, la correspondiente a un plano por el origen en ).

Luego, dado que Santaló discrimina "recta sostén" de "puntual" (cosa que Birkhoff no hace, pues Birkhoff trata toda la geometria proyectiva en un apéndice de 2 páginas en un libro de 500 páginas; mientras que Santaló dedica todo el libro a la materia), y puesto que (como hemos visto) una "recta sostén" admite varias bases distintas (lo que equivale a decir, varias "puntuales" distintas), después de dar los dos puntos (propios) del plano, pasa a la cuestión del sistema de coordenadas (base) de una "puntual" genérica.

Escribiendo un punto genérico X de la recta (proyectiva) dada por los dos puntos (propios) como , siendo las coordenadas homogéneas de X, y en vistas de su invariabilidad al multiplicar por una constante proporcional , explica que entonces, para , es la abscisa de X (coordenada no homogénea).

Entonces, hace lo siguiente: a uno de dos puntos iniciales (que definen el plano por el origen y la recta afín) de la recta afín, lo denomina "origen" y le da las coordenadas homogéneas (1,0). Ej. de los puntos (propios) (1,0,1) y (0,1,1), al primero de ellos lo llama origen y le da las coordenadas (1, 0): pues . Este punto (propio) tendrá la abscisa (proyectiva).

Al otro punto (propio) le da las coordenadas homogéneas (0, 1) que surgen de la expresión recíproca correspondiente , con la abscisa proyectiva resultante . De ahí que al punto (propio) L, lo denomina "punto del infinito" (!). Aclara después, que dicha situación surge de su condición como segundo punto en el sistema de coordenadas (de la "puntual" contenida en la recta sostén), pero que no deja de ser un punto cualquiera de la recta.

Evidentemente (si es que todo el tiempo no me he estado salteando algún raciocinio al respecto), yo no podía compatibilizar ambas definiciones: en Birkhoff, el punto del infinito pertenece al plano z=0, mientras que en Santaló parece sugerir que el punto del infinito es un punto (propio) al que se le asigna la condición de constituir la base (de una puntual).

Al mismo tiempo, es evidente que ambas versiones deben ser compatibles.


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Según pude comprender hace algunas horas (o creí comprender), la cuestión se podría explicar en términos del tercer punto, cualquiera sea (que define una recta proyectiva). Y lógicamente, en términos de la necesidad de contar con n+2 puntos (para definir un sistema de coordenadas-base).

Por un lado, el punto (propio) que, en su condición de elemento de la base de una puntual, recibe la condición de punto del infinito (y la abscisa , se relaciona (en una correspondencia) con la dirección (del vector de/punto) del plano z=0, en que ésta dirección es la misma que presenta la recta afín en el plano z=1 (recta que une al punto propio llamado origen y al punto propio llamado punto del infinito: Santaló explica que unir un punto propio con un punto del infinito consiste, en el plano proyectivo, en trazar una recta desde el primero al segundo, que sea paralela a la dirección del punto correspondiente, punto en el plano z=0).

Por otro lado, si uno tomara los dos puntos (propios) que definen la recta afín como puntos proyectivos origen y del infinito, y tomara sus abscisas proyectivas y , es visible que los demás puntos de la puntual no tendrían longitud o métrica definida, de ahí que se requiera un punto (propio/afín) adicional: es decir, esto sucedería debido a que uno de los dos puntos (propios/afines) iniciales de la recta (a priori) afín, se convierte en punto del infinito; por lo tanto, pierde su condición métrica (afín?).

De aquí surgiría que la abscisa proyectiva se defina como razón doble de cuatro puntos (tres de los cuales definen una base ó podrían hacerlo: O, L y U; si U=punto unidad con abscisa 1, aunque pudiera ser cualquier otro):.

De todo lo dicho y en relación a ello, se me ocurre que (y no estoy seguro de si el libro lo dice o no lo dice): se establece una cierta correspondencia entre un conjunto de elementos de : v.g. rectas por el origen con las tres coordenadas distintas de cero, y rectas por el origen con la última coordenada igual a cero (las de z=0), y un conjunto de elementos del plano afín z=1, correspondencia que transforma (analíticamente aunque no geométricamente?) el plano afín en plano proyectivo (ó aquí, recta afín en recta proyectiva: en realidad el plano proyectivo aún lo desconozco...).

Bueno, disculpas por la gran extensión (desearía que lo que puse no sea un sinsentido...!). Un saludo y como dije antes, enormemente agradecido por todo esto!!!!

[el_manco]

Hola

 Veamos, algunas ideas a ver si te aclaran algo.

 - El plano proyectivo es homogéneo es decir todos los puntos tienen las mismas propiedades.

 - Entonces para poder hablar de puntos del infinito (en cuyo caso ya distinguimos dos tipos de puntos perdiendo esa homogeneidad) tenemos que elegir una carta afín, es decir, elegir como "metemos" el plano afín dentro del plano proyectivo. La elección típica es elegir como plano afín el plano es decir los puntos poryectivos determinados por las rectas que cortan a tal plano y por tanto las rectas paralelas a éste y que no lo cortan corresponden a puntos del infinito.

 - Pero reitero que eso es una elección. Si cambiamos el plano por otro, los puntos del infinito serán diferentes.

 - Una recta proyectiva en el plano proyectivo corresponde a considerar los puntos determinados por las rectas que pasan por el origen y están contenidas en un plano pasando también por el origen.

 - Los puntos de esa recta proyectiva on también homogéneos, es decir, todos con las mismas propiedades.

 - Ahora dentro de esa recta proyectiva podemos "meter" una recta afín; para ello elegimos que será nuestro punto del infinito y hacemos la construcción que propone Santaló.

 - Si quieres compatbilizar la elección de este punto del infinito de la recta proyectiva con la elección global de puntos del infinito, tendrías que tomar en lugar del plano un plano que no pase por el origen y que sea paralelo a la  recta que une el origen con el punto del infinito.

Saludos.

[athair]

Gracias por la respuesta!!! Creo comprender casi todo. Además, las dos primeras observaciones, que se refieren a la homogeneidad y la pérdida de la misma al considerar elementos afines, me parecen muy esclarecedoras y convenientes(!).

Para pasar al tema subsiguiente, antes de intentar alguna definición del plano proyectivo, dejaría algunas preguntas sobre una cuestión ligada a lo anterior: la cuestión de las transformaciones de una recta proyectiva (v.g proyectividad entre puntuales). Según creo entender, mis problemas aquí son derivados de cierta inconsistencia en relación al tema de las transformaciones de un espacio vectorial, en general.


1-Un cambio de base en un espacio vectorial E: v.g cambiar la base canónica a por otra nueva con matriz de cambio de base A, implica una tranformación de E en/sobre sí mismo? (por ej., en tanto conlleva una matriz de cambio de coordenadas para los vectores...)


2-Suponiendo que para describir una transformación lineal entre dos espacios vectoriales y , es necesario definir una base en cada uno de los mismos; entonces, y sii fuera posible considerar en ambos simultáneamente la base canónica:

¿Sería correcto decir que en la aplicación de una matriz cualquiera n*n, a un vector de n componentes, considerando que el mismo está construido en la base canónica (v.g: del espacio ), la imagen del mismo (el transformado en cuestión), puede considerarse como perteneciente al espacio (al menos, debido a que, en este también se están considerando vectores construidos en la base canónica)?

¿Es decir, tomar un vector arbitrario y dar un transformado del mismo por una matriz arbitraria, implica para el transformado resultante, el que se considere (necesariamente) como miembro de un segundo Espacio Vectorial?


3-Suponiendo que una proyectividad entre rectas proyectivas, puede ser de dos clases: a)entre rectas distintas y b) entre rectas (llamadas) superpuestas; siendo (hasta donde llego a comprender...) el caso "b" como sigue:

A partir de un plano por el origen fijo, se define una primera puntual (v.g un sistema de coordenadas homogéneas en la recta afín que corta al plano z=1); luego, se define una segunda puntual vía una transformación lineal (y regular) de los puntos de la misma (ó quizas, de vectores de la misma construidos sobre la base previamente definida/elegida): ambas puntuales, se encontrarán en la misma recta afín (la que define el plano fijo por el origen, al cortar el plano z=1).

¿El caso "a" sería: la proyectividad entre rectas proyectivas (v.g puntuales) es una en la que una puntual está contenida en una recta sostén (definida por un primer plano por el origen, y representada en la recta afín que este genera con el plano z=1) y la segunda puntual está contenida en otra recta sostén (definida por un segundo plano por el origen y representada en la segunda recta afín, que ahora dicho plano por el origen genera en su corte con el plano z=1)?


Bueno, quisiera manifestar mi agradecimiento por el muy grande aporte que el intercambio me genera (!). Un saludo!!!

[el_manco]

Hola

1-Un cambio de base en un espacio vectorial E: v.g cambiar la base canónica a por otra nueva con matriz de cambio de base A, implica una tranformación de E en/sobre sí mismo? (por ej., en tanto conlleva una matriz de cambio de coordenadas para los vectores...)

Un cambio de base no implica una transformación de ; simplemente escogemos una referencia distinta y por tanto cambia la forma de "nombrar" los elementos del espacio respecto de ambas referencias. Pero no cambian los elementos. Otra cosa es que la matriz de cambio de base podría también interpretarse como una transformación del espacio vectorial. Es decir, hay la posibilidad pero no la necesidad.

2-Suponiendo que para describir una transformación lineal entre dos espacios vectoriales y , es necesario definir una base en cada uno de los mismos; entonces, y sii fuera posible considerar en ambos simultáneamente la base canónica:

¿Sería correcto decir que en la aplicación de una matriz cualquiera n*n, a un vector de n componentes, considerando que el mismo está construido en la base canónica (v.g: del espacio ), la imagen del mismo (el transformado en cuestión), puede considerarse como perteneciente al espacio (al menos, debido a que, en este también se están considerando vectores construidos en la base canónica)?

¿Es decir, tomar un vector arbitrario y dar un transformado del mismo por una matriz arbitraria, implica para el transformado resultante, el que se considere (necesariamente) como miembro de un segundo Espacio Vectorial?

La pregunta es muy confusa:

- En primer lugar no todo espacio vectorial tiene una "base canónica". Es decir una base "distinguida" de cualquier otra. Si te refires a , pues si.

- En segundo lugar y como antes, multiplicar por una matriz puede representar muchas cosas: un cambio de base, una transformación de un espacio vectorial en si mismo, una trasnformación de un espacio en otro, una simple operación algebraica. Entonces el contexto o la utilidad que queramos dar a esa matriz será lo que determine como interpretarla en cada caso.

3-Suponiendo que una proyectividad entre rectas proyectivas, puede ser de dos clases: a)entre rectas distintas y b) entre rectas (llamadas) superpuestas; siendo (hasta donde llego a comprender...) el caso "b" como sigue:

A partir de un plano por el origen fijo, se define una primera puntual (v.g un sistema de coordenadas homogéneas en la recta afín que corta al plano z=1); luego, se define una segunda puntual vía una transformación lineal (y regular) de los puntos de la misma (ó quizas, de vectores de la misma construidos sobre la base previamente definida/elegida): ambas puntuales, se encontrarán en la misma recta afín (la que define el plano fijo por el origen, al cortar el plano z=1).

¿El caso "a" sería: la proyectividad entre rectas proyectivas (v.g puntuales) es una en la que una puntual está contenida en una recta sostén (definida por un primer plano por el origen, y representada en la recta afín que este genera con el plano z=1) y la segunda puntual está contenida en otra recta sostén (definida por un segundo plano por el origen y representada en la segunda recta afín, que ahora dicho plano por el origen genera en su corte con el plano z=1)?

Sinceramente esto me resulta un trabalenguas. ¿A qué te refieres por ejemplo con definir una primera puntual?.

Saludos.

[athair]

Gracias por la respuesta!!!

Me avocaré a la tercera de las anteriores.

En primer lugar, la definición de puntual es: "Conjunto de puntos (proyectivos) que están contenidos en una recta (sostén ó base)". Dado un plano por el origen en y la recta afín , que aquél define al cortarse con el plano , esta última sería la recta sostén (recta proyectiva sostén ó base); en el sentido de que puede contener diversos sistemas de coordenadas (v.g cada uno, siendo: Origen y Punto del Infinito; a los que luego, se agrega el punto unidad o algún otro que normalize el conjunto o espacio en cuestión).

Por ejemplo (como se ve en el gráfico adjunto):  a partir de dos vectores en , estos darán un plano por el origen y una recta en el plano , dada por los dos puntos negros (en ambas rectas). Ello definiría rectas sostén, en el sentido de que uno podría tomar puntos como los marrones (en ) en vez de los negros, para establecerlos como Origen y Punto del infinito en base a los cuales estructurar la recta (puntual) como conjunto de puntos de la forma: , con coordenadas homogéneas y con como abscisa (de ahí, como decía en otro post lo de que a L se le llame punto del infinito; es decir, puesto que su abscisa es ).

[el_manco]

Hola

 Sigo sin entender la pregunta (3). Supongo que mi problema es no haber leído el libro del cuál sacas las ideas y por tanto no entiendo la filosofía de la construcción.

 Parece que distingues entre una recta y su realización dentro de un plano proyectivo; esto aunque en ciertos contextos (geometría algebraica) se usa ,tal como lo planteas aquí me parece confuso y muy antiintuitivo.

Saludos.

[athair]

Aún a mi mismo, me da la sensación de que algunas cosas del libro no son muy intuitivas. Doy un ejemplo: en una parte estudia la clasificación de las proyectividades entre puntuales superpuestas, según el número de autovectores. Entonces, llega a, por ejemplo, hablar de proyectividades parabólicas e hiperbólicas entre puntuales superpuestas; esto, hasta donde creo comprender, implica decir que hay aplicaciones (por ej.) parabólicas entre dos sistemas de puntos pertenecientes a una misma recta (digamos, por ejemplo, a la recta del gráfico que adjunté).

Lógicamente, no parecería de lo más intuitivo hablar de parabolicidad cuando uno ve, geométricamente hablando, que los puntos no escapan a una mera recta (aunque también es comprensible que diferentes clases de tales aplicaciones crearían, por ejemplo, distintas clases de segmentos entre puntos, etc.; aunque el autor no lo señala, si no recuerdo mal).

Bueno, en otro momento tal vez deje alguna pregunta más relacionada con el tema de plano proyectivo. Un saludo y gracias!!!

[athair]

Hola, quisiera dejar un par de preguntas (aproximativas, si cupiese el término) sobre plano proyectivo (mi comprensión del tema, en términos de los elementos en que se divide el mismo, es muy lenta, por cierto).

Hay un par de cuestiones acerca de las cuales, creo, podría hacer una especie de pregunta que abarque ambos aspectos (espero que esto no lleve a, como muchas veces, hacerla ininteligible).

Por un lado, la cuestión de la equivalencia de rectas bajo colineaciones del plano (proyectivo): v.g el llevar rectas (v.g afines) paralelas a rectas (afines) no paralelas.

Por otro lado, la cuestión de la determinación de una colineación del plano proyectivo a partir de cuatro pares de puntos homólogos.

La primer pregunta sería:

1-Dadas dos rectas afines paralelas en el plano z=1, interpretadas como un conjunto de 4 puntos; y dos rectas, homólogas de las primeras, no paralelas: ¿ello permitiría determinar la colineación del plano proyectivo?

2-Se me ocurre (no sé si con razón) que el llevar dos rectas paralelas (a las cuales hay asociado un único punto del infinito), a dos rectas no paralelas (a las cuales hay asociados, ergo, dos puntos del infinito) implica, pues: aplicar un punto del infinito en dos puntos del infinito.

Lo único que se me ocurre aquí, es que está implicada la transformada de la recta del infinito (inicial); osea, algo de perogrullo.

3-Por una colineación del plano proyectivo, los dos vectores directores de la recta del infinito (suponiendo que esto exista) pueden resultar proyectándose sobre el plano z=1 como una recta afín?

4-Si 3 fuera verdadero, entonces: dos rectas (afines) paralelas en z=1 podrían, en algún caso, estar representando la imagen del plano proyectivo inical (v.g: una de las rectas afines paralelas sería la recta del infinito y la otra, la recta propia)?

5- Si 4 fuera verdadero, entonces: en el nuevo plano proyectivo (como dos rectas afines paralelas), los puntos propios se representarían como los puntos de una de las dos rectas afínes (e idem. para los impropios: como puntos de la otra recta afín)?

Bueno, gracias!!! (mis sinceras disculpas si he escrito algo absurdo o no muy razonado, etc.) Saludos!!