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Autor Tema: Calcular una distancia.  (Leído 350 veces)
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Tanius
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« : 11/04/2012, 23:45:51 pm »

¡Hola!

Sea un triángulo [texx]ABC[/texx], consideremos sus circunferencias inscrita y circunscrita. Sean [texx]O[/texx] e [texx]I[/texx] el circuncentro y el incentro, respectivamente. Sean [texx]R[/texx] y [texx]r[/texx] los radios de las circunferencias inscrita y circunscritas, respectivamente. Llamemos [texx]d[/texx] a la distancia entre [texx]OI[/texx]. Demostrar que [texx]d^2=R^2-2rR[/texx].


Lamento que aún no haya aprendido a usar Geogebra. Trataré de explicar cuál es la idea que habíamos pensado.

La ecuación [texx]d^2=R^2-2rR[/texx] es equivalente a [texx]d^2+r^2=R^2-2rR+r^2[/texx], de donde [texx]R-r = \sqrt{d^2+r^2}[/texx]. Considero ahora el triángulo rectángulo cuyos catetos miden [texx]d[/texx] y [texx]r[/texx] (es decir, sus vértices son O e I, y el otro vértice queda sobre la circunferencia inscrita). Si lograra demostrar que la hipotenusa de dicho triángulo es [texx]R-r[/texx], habría terminado.

Gracias de antemano.
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Michel
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« Respuesta #1 : 12/04/2012, 05:05:44 am »

Hola Tanius.

¿Por qué crees que el triángulo de lados r y d es rectángulo?

Saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 12/04/2012, 06:05:42 am »

Hola

 Tan sólo apuntar que el resultado que quiere probar Tanius se conoce usualmente como la Fórmula o el Teorema de Euler.

Saludos.
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Tanius
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« Respuesta #3 : 12/04/2012, 10:41:33 am »

¿Por qué crees que el triángulo de lados r y d es rectángulo?

Quizá no me expliqué bien. Me fijo en el segmento [texx]OI[/texx] que mide [texx]d[/texx], ése ve a ser un hipotético cateto del triángulo, luego me fijo en otro cateto que forme 90 grados y cuya longitud es [texx]r[/texx]. El triángulo queda bien determinado por LAL, luego quería probar que la hipotenusa medía [texx]R-r[/texx].

Bueno, con lo del el_manco me ha bastado, no imaginaba que su solución fuese "tan complicada". Supongo que lo que yo intenté no lleva a nada.

Gracias.
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