Gracias!!! Lo del isomorfismo entre vectores de
y matrices de
me resulta más que bueno!!!
Pasando al tema siguiente: me pregunto si la proposición pudiera enmendarse del siguiente modo "las potencias
de una transformación T, son
linealmente independientes, salvo cuando T es la identidad:
."
Más allá de eso, yendo al punto de que
matrices serán
linealmente dependientes, se me ocurren algunas cuestiones.
1) (esto relaciona de algún modo algo que ya se ha tratado antes, con algo más reciente, por así decir) Si
para un espacio vectorial de dimensión n,
, hay
matrices
linealmente independientes (cuya i.l. puede obtenerse
por isomorfismo con la propia para vectores de un
) y, al mismo tiempo,
son linealmente dependientes de modo tal que esto último permite formar un polinomio en T que se anula: v.g
:
se me ocurre que podría decirse que: a una sucesión de potencias en T de grados sucesivos (empezando en 0 y hasta una potencia de grado
, lo que daría
términos/potencias), le corresponde un conjunto único de coeficientes (cada uno para cada término, ó para
de los términos; o sea, todos salvo el último, para tener u polinomio
mónico) tales que, existe una correspondencia entre los mismos, por un lado, y la anulación del polinomio en cuestión.
2) Pero aún si ello fuera cierto, me queda la duda acerca de qué ocurre en relación a, por un lado: los (tan sólo) n vectores linealmente independientes del espacio vectorial asociado
y la relación de dependencia lineal entre las
matrices de
.
Se me ocurre algo así como lo que alguna vez leyera sobre el concepto de homomorfismo (v.g: una correspondencia
pluriunívoca: en este caso, como si hubiera más de un conjunto de matrices l.i. tales que respetaran la independencia lineal de los n-vectores l.i de V.
No veo de dónde podría surgir la confusión conceptual (el libro da el ejemplo de una matriz nilpotente; pero hasta donde logro comprender, la matriz nilpotente que elije o utiliza es de por sí un caso especial: usa una matriz nilpotente T tal que
para un espacio vectorial de dimensión h:
; de modo que, hasta donde logro entender,
barre con ciertas cuestiones que surgirían en un tratamiento más general del tema.) Si todos los casos pudieran reducirse (algebraicamente, etc.) al caso de una matriz nilpotente como la presentada por el libro, pese a que todavía tendría que ver cómo sería ello posible...me quedarìa más claro; pero el libro no se refiere a esta posibilidad (al menos, no explicitamente).
Bueno, saludos!!
