Duda con relaciones de equivalencia (construcción de los enteros)

[Hernan_ER]

Hola. Me surgió una duda sobre las relaciones de equivalencia al construir los enteros a partir de los naturales. Se definen de la siguiente forma:
Los enteros son el conjunto de las clases de equivalencias de pares de naturales donde la clase de equivalencia está definida por: "(a, b)~ (c, d) sii a+ d= b+ c." Esta relación esta dada en los NxN

Entonces por ejemplo tenemos algunos pares pertenecientes a la misma clase:



Pero ¿qué me dice a mi que todos esos pares representan al entero -3 (es decir que tengo que restar la primera componente a la segunda)? ya que una relación son simplemente pares ordenados, no números.
¡Gracias!

[Carlos Ivorra]

Supongo que si sigues leyendo el libro, los apuntes o donde quiera que tengas la construcción, te encontrarás con una definición: para cada número natural , se define y . Es esa definición la que te dice que

[Hernan_ER]

Ah justamente el libro solamente dice, "ahora se puede ver que al restar la primer componente... etc". No define nada. En tu definición, ¿solo no es válida para los pares que tienen 0 como componente? Gracias.

[Carlos Ivorra]

Ah justamente el libro solamente dice, "ahora se puede ver que al restar la primer componente... etc". No define nada. En tu definición, ¿solo no es válida para los pares que tienen 0 como componente? Gracias.

No entiendo la pregunta. La definición vale para todo número natural n. En principio, defines , con el par que tiene 0 en su primera componente, pero la relación de equivalencia hace que la clase coincida con las clases de otros pares con otras primeras componentes.

[Hernan_ER]

¡Ah claro! Lo definiste para (0,3) que se identifica con -3 pero como (0,3) es equivlente a (4,7) entonces (4,7) también se identifica con -3. Si no ¿podría ser también?:



Gracias.

[Carlos Ivorra]

También puede ser, pero entonces tienes que demostrar que la definición es consistente con la relación de equivalencia, es decir, que las clases que has escrito son todas la misma independientemente de quién sea m. No es difícil probarlo, pero es más fácil definirlo con un par concreto, con lo que la definición es correcta automáticamente y luego hacer cuentas que haga falta.